Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen
Darstellende Matrix einer linearen Abbildung
B = (v1, . . . , vn) bzw. B ′ = (w1, . . . , wm) seien geordnete Basen der
endlich-dimensionalen K-Vektorräume V bzw. W ; φB : K n → V und
φB ′ : Km → W seien die zugehörigen Isomorphismen definiert durch
φB(ei) = vi, φB ′(ej) = wj, wobei i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m und (ei)i die
entsprechende kanonische Basis ist.
Definition
Sei F ∈ L(V , W ). Die Matrix A ∈ Mat(m, n, K), die bestimmt wird durch
Aej = (φ −1
B ′ ◦ F ◦ φB)(ej)
heißt darstellende Matrix der linearen Abbildung F bzgl. der Basen B, B ′
und wird mit M B′
B (F ) bezeichnet.
Beispiel
Seien V = K n , W = K m und B bzw. B ′ die zugehörigen kanonischen
Basen. Dann gilt φB = IdV , φB ′ = IdW und für jede lineare Abbildung
F ∈ L(K n , K m ) ist M B′
(F ) die kanonisch zugeordnete Matrix. 57 / 145