Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Vektorräume Definition und Beispiele
1) (V , +) eine kommutative Gruppe ist, d.h. es gilt:
(i) v + w = w + v für alle v, w ∈ V (Kommutativgesetz),
(ii) (u + v) + w = u + (v + w) für alle u, v, w ∈ V (Assoziativgesetz),
(iii) es gibt ein Element 0 ∈ V , so dass v + 0 = v für alle v und
(iv) zu jedem v ∈ V existiert −v, so dass v + (−v) = 0.
(Wie im Fall von (R, +) zeigt man die Eindeutigkeit des neutralen
Elements 0 und des additiven Inversen −v von v.)
2) Für alle λ, μ ∈ K, v, w ∈ V gilt:
(i) (λμ) ∙ v = λ ∙ (μ ∙ v),
(ii) 1 ∙ v = v,
(iii) (λ + μ) ∙ v = λ ∙ v + μ ∙ v,
(iv) λ ∙ (v + w) = λ ∙ v + λ ∙ w.
Definition
Die Elemente von K heißen Skalare, die von V Vektoren. Das neutrale
Element 0 ∈ V heißt der Nullvektor von V .
Man unterscheide immer 0 ∈ K und den Nullvektor 0 ∈ V , auch wenn wir
die gleiche Notation verwenden.
3 / 145