Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Satz Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Der K n sei versehen mit der kanonischen Basis (ej)j=1,...n. Der Vektorraum L(K n , K m ) ist in kanonischer Weise isomorph zu Mat(m, n, K). Wir ordnen dabei einer linearen Abbildung F ∈ L(K n , K m ) eine m × n-Matrix zu durch ϕ : F ↦→ (F (e1) . . . F (en)) , wobei die F (ej) ∈ K m als Spaltenvektoren zu verstehen sind. Beweis. Die Abbildung ϕ ist linear und injektiv, denn: F (ej) = 0 für alle j = 1, . . . , n impliziert F = 0. 51 / 145
Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Weiter im Beweis: Die lineare Abbildung ϕ ist aber auch surjektiv: eine beliebige Matrix. Sei A = (aij)i=1,...m j=1,...n Dazu definiert man F ∈ L(Kn , Km ) mittels F (ej) := Damit ist die j-te Spalte von ϕ(F ), ⎛ ⎞ aj = ⎜ ⎝ a1j . amj ⎟ ⎠ = m� i=1 m� i=1 aijei. aijei ∈ K m , das Bild F (ej) des j-ten Basisvektors ej der kanonischen Basis von K n . Somit ist ϕ(F ) = A. � 52 / 145
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Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen<br />
Weiter im Beweis:<br />
Die lineare Abbildung ϕ ist aber auch surjektiv:<br />
eine beliebige Matrix.<br />
Sei A = (aij)i=1,...m<br />
j=1,...n<br />
Dazu definiert man F ∈ L(Kn , Km ) mittels<br />
F (ej) :=<br />
Damit ist die j-te Spalte von ϕ(F ),<br />
⎛ ⎞<br />
aj =<br />
⎜<br />
⎝<br />
a1j<br />
.<br />
amj<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
m�<br />
i=1<br />
m�<br />
i=1<br />
aijei.<br />
aijei ∈ K m ,<br />
das Bild F (ej) des j-ten Basisvektors ej <strong>der</strong> kanonischen Basis von K n .<br />
Somit ist ϕ(F ) = A. �<br />
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