Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Satz Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Der K n sei versehen mit der kanonischen Basis (ej)j=1,...n. Der Vektorraum L(K n , K m ) ist in kanonischer Weise isomorph zu Mat(m, n, K). Wir ordnen dabei einer linearen Abbildung F ∈ L(K n , K m ) eine m × n-Matrix zu durch ϕ : F ↦→ (F (e1) . . . F (en)) , wobei die F (ej) ∈ K m als Spaltenvektoren zu verstehen sind. Beweis. Die Abbildung ϕ ist linear und injektiv, denn: F (ej) = 0 für alle j = 1, . . . , n impliziert F = 0. 51 / 145
Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Weiter im Beweis: Die lineare Abbildung ϕ ist aber auch surjektiv: eine beliebige Matrix. Sei A = (aij)i=1,...m j=1,...n Dazu definiert man F ∈ L(Kn , Km ) mittels F (ej) := Damit ist die j-te Spalte von ϕ(F ), ⎛ ⎞ aj = ⎜ ⎝ a1j . amj ⎟ ⎠ = m� i=1 m� i=1 aijei. aijei ∈ K m , das Bild F (ej) des j-ten Basisvektors ej der kanonischen Basis von K n . Somit ist ϕ(F ) = A. � 52 / 145
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Satz<br />
Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen<br />
Der K n sei versehen mit <strong>der</strong> kanonischen Basis (ej)j=1,...n. Der Vektorraum<br />
L(K n , K m ) ist in kanonischer Weise isomorph zu Mat(m, n, K).<br />
Wir ordnen dabei einer linearen Abbildung F ∈ L(K n , K m ) eine<br />
m × n-Matrix zu durch<br />
ϕ : F ↦→ (F (e1) . . . F (en)) ,<br />
wobei die F (ej) ∈ K m als Spaltenvektoren zu verstehen sind.<br />
Beweis. Die Abbildung ϕ ist linear und injektiv, denn: F (ej) = 0 <strong>für</strong> alle<br />
j = 1, . . . , n impliziert F = 0.<br />
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