Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Satz Lineare Abbildungen Definition und Eigenschaften Es seien V , W Vektorräume, F : V → W linear und (v1, . . . , vn) eine Basis von V . Dann gilt (i) F ist surjektiv ⇐⇒ (F (vi))i ist ein Erzeugendensystem von W . (ii) F ist injektiv ⇐⇒ (F (vi))i ist linear unabhängig. (iii) F ist ein Isomorphismus ⇐⇒ (F (vi))i ist eine Basis von W . Beweis: Übungsaufgabe � Folgerung Zwei endlich dimensionale Vektorräume V und W sind isomorph ⇐⇒ dim(V ) = dim(W ). Beweis. Sei (v1, . . . , vn) eine Basis von V . ‘⇒’ Wegen (iii) ist für jeden Isomorphismus (F (vi))i eine Basis. ‘⇐’ Sei umgekehrt dim W = dim V = n. Dann existiert eine Basis (w1, . . . , wn) von W mit n Elementen. Die lineare Abbildung F : V → W definiert durch F (vi) = wi ist ein Isomorphismus. � 47 / 145
Satz Lineare Abbildungen Definition und Eigenschaften Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K und (v1, . . . , vn) eine Basis von V . Dann definiert die Zuordnung ϕ : L(V , K) → K n F ↦→ (F (v1), F (v2), . . . , F (vn)) einen Isomorphismus. Insbesondere gilt dim(V ) = dim(L(V , K)). Beweis. ϕ ist offensichtlich linear. ϕ : F ↦→ (F (vi))i ist injektiv, denn: aus 0 = ϕ(F ) folgt F (v1) = F (v2) = ∙ ∙ ∙ = F (vn) = 0 und damit wegen der Linearität F (v) = 0 für jeden Vektor v = �n i=1 λivi ∈ V , also F = 0. ϕ ist auch surjektiv: Sei (a1, . . . , an) ∈ Kn beliebig. Dann definieren wir die Abbildung F durch die Werte F (vi) := ai auf den Basisvektoren (vi). � 48 / 145
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Satz<br />
Lineare Abbildungen Definition und Eigenschaften<br />
Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K und (v1, . . . , vn) eine<br />
Basis von V . Dann definiert die Zuordnung<br />
ϕ : L(V , K) → K n<br />
F ↦→ (F (v1), F (v2), . . . , F (vn))<br />
einen Isomorphismus. Insbeson<strong>der</strong>e gilt dim(V ) = dim(L(V , K)).<br />
Beweis.<br />
ϕ ist offensichtlich linear.<br />
ϕ : F ↦→ (F (vi))i ist injektiv, denn: aus 0 = ϕ(F ) folgt<br />
F (v1) = F (v2) = ∙ ∙ ∙ = F (vn) = 0 und damit wegen <strong>der</strong> Linearität<br />
F (v) = 0 <strong>für</strong> jeden Vektor v = �n i=1 λivi ∈ V , also F = 0.<br />
ϕ ist auch surjektiv: Sei (a1, . . . , an) ∈ Kn beliebig. Dann definieren<br />
wir die Abbildung F durch die Werte F (vi) := ai auf den<br />
Basisvektoren (vi).<br />
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