Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz
Lineare Abbildungen Definition und Eigenschaften
Es seien V , W Vektorräume, F : V → W linear und (v1, . . . , vn) eine
Basis von V . Dann gilt
(i) F ist surjektiv ⇐⇒ (F (vi))i ist ein Erzeugendensystem von W .
(ii) F ist injektiv ⇐⇒ (F (vi))i ist linear unabhängig.
(iii) F ist ein Isomorphismus ⇐⇒ (F (vi))i ist eine Basis von W .
Beweis: Übungsaufgabe �
Folgerung
Zwei endlich dimensionale Vektorräume V und W sind isomorph ⇐⇒
dim(V ) = dim(W ).
Beweis. Sei (v1, . . . , vn) eine Basis von V .
‘⇒’ Wegen (iii) ist für jeden Isomorphismus (F (vi))i eine Basis.
‘⇐’ Sei umgekehrt dim W = dim V = n. Dann existiert eine Basis
(w1, . . . , wn) von W mit n Elementen. Die lineare Abbildung
F : V → W definiert durch F (vi) = wi ist ein Isomorphismus. �
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