Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Definition und Eigenschaften
Weitere wichtige Eigenschaften linearer Abbildungen
1 Sei F : U → V linear und G : V → W linear. Dann ist auch die
Komposition G ◦ F : U → W linear.
2 Sei F : V → W linear. Für jeden Unterraum V ′ ⊂ V ist das Bild
F (V ′ ) ⊂ W ein Unterraum. Ebenso ist das Urbild F −1 (W ′ ) ⊂ V ein
Unterraum für jeden Unterraum W ′ ⊂ W .
3 Insbesondere sind für jede lineare Abbildung F ihr Bild
im F := F (V ) ⊂ W und ihr Kern
ker F := F −1 (0) = {v ∈ V |F (v) = 0} ⊂ V jeweils Unterräume.
4 F ist genau dann injektiv, wenn ker F = {0}.
5 Eine lineare Abbildung F : V → W ist ein Isomorphismus genau
dann, wenn im F = W und ker F = {0}.
6 Sei F : V → W ein Isomorphismus. Dann ist F −1 : W → V linear.
46 / 145