Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Definition und Eigenschaften
Definition von linearen Abbildungen auf einer Basis
Satz
Seien V , W Vektorräume Vektorräume über K. Es sei dim V < ∞ und
(v1, . . . , vn) eine Basis von V . Für jedes n-Tupel (w1, . . . wn) von Vektoren
in W gibt es genau eine lineare Abbildung F : V → W mit F (vi) = wi.
Beweis. Jeder Vektor v ∈ V lässt sich eindeutig in der Form
v = � n
i=1 λivi schreiben. Wegen der Linearität muss F auf v den Wert
F (v) =
n�
λiF (vi) =
i=1
n�
i=1
λiwi
annnehmen. Man rechnet leicht nach, dass dies eine lineare Abbildung
definiert. �
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