Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Vektorräume Gaußscher Algorithmus
Basis von Unterräumen aus Erzeugendensystemen
Sei V = K n und v1, . . . , vm ∈ V und
U = span{v1, . . . , vm} ⊂ V
der von (v1, . . . , vm) aufgespannte Unterraum.
Wir wollen nun eine aus dem Erzeugendensystem {v1, . . . , vm} eine Basis
des Unterraumes U bestimmen. Dazu benutzt man den Gaußschen
Algorithmus (Gaußsches Eliminierungsverfahren). Dieser beruht auf den
folgenden Fakten, von denen sich (ii) und (iii) aus dem Austauschsatz
ergeben:
(i) span{v1, . . . , vm} = span{v ϕ(1), . . . , v ϕ(m)}
für jede Permutation ϕ : {1, . . . , m} → {1, . . . , m},
(ii) span{λv1, v2, . . . , vm} = span{v1, . . . , vm}
für alle λ ∈ K ∗ := K \ {0}
(iii) span{v1, . . . , vi−1, vi + λv1, vi+1, . . . , vm} = span{v1, . . . , vm} für
i �= 1.
31 / 145