Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Beispiele/Übungsaufgaben 1) dimK K n = n. Vektorräume Dimension 2) Jeder komplexe Vektorraum V kann als reeller Vektorraum aufgefasst werden und dimR V = 2 dimC V : ist (bk) eine Basis über C, so ist die Familie (bk, ibk) eine Basis über R. Insbesondere gilt dimR C n = 2 dimC C n = 2n. 3) dimQ R = ∞ (Hinweis: Das folgt aus der Überabzählbarkeit von R). 4) dimK Abb(X , K) = card(X ), wobei � n, falls X aus n Elementen besteht card(X ) := ∞, falls X unendlich ist. 5) Für den Vektorraum der Polynome gilt dimK K[x] = ∞. 6) Sei U ⊂ V ein Unterraum. Dann gilt dim U ≤ dim V . Falls V endlichdimensional ist, so gilt dim U = dim V genau dann, wenn U = V . 29 / 145
Folgerung Vektorräume Dimension Sei V ein Vektorraum der Dimension n ∈ N. (i) Jede linear unabhängige Familie von Vektoren von V hat höchstens n Elemente. (ii) Eine linear unabhängige Familie von Vektoren von V ist genau dann eine Basis, wenn sie n Elemente hat. (iii) Jedes Erzeugendensystem von V hat mindestens n Elemente. (iv) Ein Erzeugendensystem von V ist genau dann eine Basis, wenn es n Elemente hat. Beweis. (i-ii) folgt aus dem Austauschsatz. (iii) folgt daraus, dass man aus jedem endlichen Erzeugendensystem eine Basis auswählen kann. (iv) Ein Erzeugendensystem mit n Elementen ist wegen (iii) minimal und somit eine Basis. � 30 / 145
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Folgerung<br />
Vektorräume Dimension<br />
Sei V ein Vektorraum <strong>der</strong> Dimension n ∈ N.<br />
(i) Jede linear unabhängige Familie von Vektoren von V hat höchstens n<br />
Elemente.<br />
(ii) Eine linear unabhängige Familie von Vektoren von V ist genau dann<br />
eine Basis, wenn sie n Elemente hat.<br />
(iii) Jedes Erzeugendensystem von V hat mindestens n Elemente.<br />
(iv) Ein Erzeugendensystem von V ist genau dann eine Basis, wenn es n<br />
Elemente hat.<br />
Beweis.<br />
(i-ii) folgt aus dem Austauschsatz.<br />
(iii) folgt daraus, dass man aus jedem endlichen Erzeugendensystem eine<br />
Basis auswählen kann.<br />
(iv) Ein Erzeugendensystem mit n Elementen ist wegen (iii) minimal und<br />
somit eine Basis. �<br />
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