Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ... Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
Theorem Sei V ein Vektorraum. Vektorräume Austauschsätze von Steinitz (i) Wenn V eine endliche Basis besitzt, dann ist jede Basis von V endlich. (ii) Alle endlichen Basen von V haben die gleiche Anzahl von Elementen. Beweis. (i) Sei (v1, . . . , vn) eine Basis. Aus dem Austauschsatz folgt, dass jede linear unabhängige Familie höchstens n Elemente hat. (ii) Sei (w1, . . . , wr ) eine zweite Basis. Aus dem Austauschsatz folgt, wie gesagt, r ≤ n. Nach Vertauschen der Rollen der beiden Basen folgt ebenso n ≤ r. � 27 / 145
Definition (Dimension) Sei V ein Vektorraum über K. Vektorräume Dimension Die Dimension von V ist die Zahl ⎧ 0, falls V = {0} ⎪⎨ n, falls V eine endliche Basis dim V = dimK V := (v1, . . . , vn) hat ⎪⎩ ∞ sonst Bemerkung Die leere Familie ist die Basis des Nullvektorraums V = {0}. 28 / 145
- Seite 1 und 2: Mathematik I für Studierende der G
- Seite 3 und 4: Inhaltsverzeichnis II Die symmetris
- Seite 5 und 6: Lineare Algebra Definition (Vektorr
- Seite 7 und 8: Beispiele von Vektorräumen 1) Der
- Seite 9 und 10: Definition Vektorräume Unterräume
- Seite 11 und 12: Beispiele von Unterräumen Vektorr
- Seite 13 und 14: Vektorräume Unterräume 6) Ein Pol
- Seite 15 und 16: Vektorräume Lineare Unabhängigkei
- Seite 17 und 18: Definition (Lineare Hülle) Vektorr
- Seite 19 und 20: Weiter im Beweis: Dann gilt Vektorr
- Seite 21 und 22: Ein Beispiel Vektorräume Erzeugend
- Seite 23 und 24: Satz (Charakterisierung von Basen)
- Seite 25 und 26: Vektorräume Erzeugendensysteme, Ba
- Seite 27 und 28: Lemma (Austauschlemma) Sei (v1, . .
- Seite 29: Weiter im Beweis: Wir können daher
- Seite 33 und 34: Folgerung Vektorräume Dimension Se
- Seite 35 und 36: Vektorräume Gaußscher Algorithmus
- Seite 37 und 38: Eine Matrix B = (bij) i=1...m j=1,.
- Seite 39 und 40: Vektorräume Gaußscher Algorithmus
- Seite 41 und 42: Weiter im Zahlenbeispiel: ⎛ ⎜
- Seite 43 und 44: Weiter im Zahlenbeispiel: Also k =
- Seite 45 und 46: Kapitel 11 Lineare Abbildungen Vekt
- Seite 47 und 48: Grundlegende Eigenschaften: Lineare
- Seite 49 und 50: Lineare Abbildungen Definition und
- Seite 51 und 52: Satz Lineare Abbildungen Definition
- Seite 53 und 54: Lineare Abbildungen Lineare Abbildu
- Seite 55 und 56: Lineare Abbildungen Lineare Abbildu
- Seite 57 und 58: Lineare Abbildungen Lineare Abbildu
- Seite 59 und 60: Produkt zweier Matrizen Definition
- Seite 61 und 62: Lineare Abbildungen Lineare Abbildu
- Seite 63 und 64: Endomorphismen Lineare Abbildungen
- Seite 65 und 66: Satz Lineare Abbildungen Rang einer
- Seite 67 und 68: Beweis der Behauptung. Lineare Abbi
- Seite 69 und 70: Folgerung Lineare Abbildungen Rang
- Seite 71 und 72: Satz Lineare Abbildungen Der Lösun
- Seite 73 und 74: Lineare Abbildungen Der Lösungsrau
- Seite 75 und 76: Lineare Abbildungen Der Lösungsrau
- Seite 77 und 78: Lineare Abbildungen Der Lösungsrau
- Seite 79 und 80: Innere Summe von Unterräumen Defin
Theorem<br />
Sei V ein Vektorraum.<br />
Vektorräume Austauschsätze von Steinitz<br />
(i) Wenn V eine endliche Basis besitzt, dann ist jede Basis von V<br />
endlich.<br />
(ii) Alle endlichen Basen von V haben die gleiche Anzahl von Elementen.<br />
Beweis.<br />
(i) Sei (v1, . . . , vn) eine Basis. Aus dem Austauschsatz folgt, dass jede<br />
linear unabhängige Familie höchstens n Elemente hat.<br />
(ii) Sei (w1, . . . , wr ) eine zweite Basis. Aus dem Austauschsatz folgt, wie<br />
gesagt, r ≤ n. Nach Vertauschen <strong>der</strong> Rollen <strong>der</strong> beiden Basen folgt<br />
ebenso n ≤ r.<br />
�<br />
27 / 145
Change language