Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Weiter im Beweis:<br />
Wir können daher schreiben<br />
wr+1 =<br />
Vektorräume Austauschsätze von Steinitz<br />
r�<br />
λiwi +<br />
i=1<br />
n�<br />
j=r+1<br />
λjv ϕ(j).<br />
Da die Familie (w1, . . . , wr+1) linear unabhängig ist, existiert<br />
j0 ∈ {r + 1, . . . , n} mit λj0 �= 0. Insbeson<strong>der</strong>e ist r + 1 ≤ n.<br />
Wir können (ggf. nach Abän<strong>der</strong>ung von ϕ) annehmen, dass j0 = r + 1.<br />
Nach dem Austauschlemma können wir dann in <strong>der</strong> Basis<br />
(w1, . . . , wr , v ϕ(r+1), . . . , v ϕ(n)) den Vektor v ϕ(j0) = v ϕ(r+1) durch<br />
wr+1 ersetzen und erhalten die Basis<br />
(w1, . . . , wr+1, v ϕ(r+2), . . . , v ϕ(n)). �<br />
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