Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz (Steinitzscher Austauschsatz)
Vektorräume Austauschsätze von Steinitz
Sei V ein Vektorraum, (v1, . . . , vn) eine Basis und die Familie (w1, . . . , wr )
linear unabhängig.
Dann gilt n ≥ r und es gibt eine Bijektion ϕ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}
(eine Permutation von {1, . . . , n}), so dass die Familie
(w1, . . . , wr , v ϕ(r+1), . . . , v ϕ(n)) eine Basis ist.
Beweis.
Beweis durch Induktion nach r:
Für r = 0 ist nichts zu zeigen. Wir führen den Induktionsschritt
r → r + 1 aus.
Sei also die Familie (w1, . . . , wr+1) linear unabhängig und (v1, . . . , vn)
eine Basis.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt r ≤ n und es gibt eine Permutation
ϕ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}, so dass (w1, . . . , wr , v ϕ(r+1), . . . , v ϕ(n))
eine Basis ist.
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