Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

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Ende des Beweises Vektorräume Erzeugendensysteme, Basen (ii) ⇒ (0) Sei (vj)j∈J eine maximale linear unabhängige Familie. Wir zeigen, dass (vj)j∈J ein Erzeugendensystem und somit eine Basis ist. Wäre es kein Erzeugendensystem, so gäbe es v ∈ V \ span{vj|j ∈ J}. Die Familie (v, (vj)j∈J) wäre dann linear unabhängig: sei 0 = μv + � λjvj eine Darstellung des Nullvektors. Ist μ = 0, so folgt λj = 0 für alle j aus der linearen Unabhängigkeit von (vj)j∈J. Ist μ �= 0, so finde v = − � (λj/μ)vj, im Widerspruch zur Annahme über v. Damit haben wir einen Widerspruch zur Maximalität von (vj)j∈J. � Folgerung (Basisauswahlsatz) Jedes endliche Erzeugendensystem eines Vektorraums V enthält eine Basis. Beweis. Jedes endliche Erzeugendensystem enthält ein minimales Erzeugendensystem. � 23 / 145
Lemma (Austauschlemma) Sei (v1, . . . , vn) eine Basis von V und eine Linearkombination. Vektorräume Austauschsätze von Steinitz w = n� i=1 λivi Wenn λk �= 0 gilt, so ist auch (v1, . . . , vk−1, w, vk+1, . . . , vn) eine Basis von V . Beweis. Übungsaufgabe. � 24 / 145
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