Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Ende des Beweises
Vektorräume Erzeugendensysteme, Basen
(ii) ⇒ (0) Sei (vj)j∈J eine maximale linear unabhängige Familie.
Wir zeigen, dass (vj)j∈J ein Erzeugendensystem und somit
eine Basis ist.
Wäre es kein Erzeugendensystem, so gäbe es
v ∈ V \ span{vj|j ∈ J}. Die Familie (v, (vj)j∈J) wäre dann
linear unabhängig: sei 0 = μv + � λjvj eine Darstellung des
Nullvektors. Ist μ = 0, so folgt λj = 0 für alle j aus der
linearen Unabhängigkeit von (vj)j∈J. Ist μ �= 0, so finde
v = − � (λj/μ)vj, im Widerspruch zur Annahme über v.
Damit haben wir einen Widerspruch zur Maximalität von
(vj)j∈J. �
Folgerung (Basisauswahlsatz)
Jedes endliche Erzeugendensystem eines Vektorraums V enthält eine Basis.
Beweis. Jedes endliche Erzeugendensystem enthält ein minimales
Erzeugendensystem. �
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