Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Vektorräume Erzeugendensysteme, Basen
Weiter im Beweis: (i) ⇒ (ii)
Wir zeigen zuerst, dass aus (i) die lineare Unabhängigkeit von (vj)j∈J
folgt.
Sei �
j∈J0 λjvj = 0, wobei J0 ⊂ J endlich ist.
Wenn für ein j0 ∈ J0 der Koeffizient λj0 �= 0 wäre, so wäre
= − �
j∈J0\{j0}
λj
vj0 vj und somit (vj) λj j∈J\{j0} ein Erzeugendensystem,
0
im Widerspruch zur angenommenen Minimalität in (i).
Also λj0 = 0 für alle j0 ∈ J0. Das zeigt die lineare Unabhängigkeit von
(vj)j∈J.
Als Nächstes zeigen wir die Maximalität der linear unabhängigen
Familie (vj)j∈J.
Sei also (vj)j∈J0 , J0 � J, eine Familie, die die (vj)j∈J enthält und
j0 ∈ J0 \ J.
Da (vj)j∈J �
ein Erzeugendensystem ist, gibt es eine Darstellung
vj0 = j∈J λjvj.
Das zeigt, dass (vj)j∈J0 linear abhängig ist. Somit ist die linear
unabhängige Familie (vj)j∈J maximal.
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