Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Vektorräume Erzeugendensysteme, Basen
Beweis.
Sei (0) die Aussage, dass (vj)j∈J eine Basis bildet. Wir zeigen
(0) ⇒ (iii) ⇒ (i) ⇒ (ii) ⇒ (0).
(0) ⇒ (iii) Wir wissen bereits, dass jeder Vektor aus span{vj|j ∈ J} eine
eindeutige Darstellung als (endliche) Linearkombination der
linear unabhängigen Vektoren (vj)j∈J hat. Da (vj)j∈J auch
ein Erzeugendensystem ist, gilt das für jeden Vektor aus
V = span{vj|j ∈ J}.
(iii) ⇒ (i) Aus (iii) folgt offensichtlich, dass (vj)j∈J ein
Erzeugendensystem ist.
Um die Minimalität zu zeigen, nehmen wir an, dass die echte
Teilfamilie (vj)j∈J0 , J0 � J, schon ein Erzeugendensystem ist.
Dann hat jeder der Vektoren vi, i ∈ J \ J0, eine Darstellung
(*) vi = �
j∈J0 λjvj. Nach (iii) ist das die eindeutige
Darstellung als Linearkombination der (vj)j∈J.
Wäre nun i �∈ J0, so wären vi = vi und (*) zwei verschiedene
Darstellungen. Widerspruch zur Eindeutigkeit, also J = J0.
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