Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ... Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
Satz Vektorräume Lineare Unabhängigkeit Die Familie (vj)j∈J von Vektoren vj ∈ V sei linear unabhängig. Dann hat jeder Vektor v ∈ span{vj|j ∈ J} eine eindeutige Darstellung v = � λjvj, λj ∈ K, j∈J wobei λj = 0 für fast alle j ∈ J, d.h. für alle bis auf endlich viele j ∈ J. Beweis. Sei v in der linearen Hülle vorgegeben. Nach Definition der linearen Hülle gibt es eine endliche Teilmenge J0 ⊂ J und eine Darstellung v = � λjvj. j∈J0 Sei v = � j∈J ′ 0 λ′ jvj eine weitere solche Darstellung mit endlichem J ′ 0 ⊂ J. 15 / 145
Weiter im Beweis: Dann gilt Vektorräume Lineare Unabhängigkeit 0 = v − v = � λjvj − � = � j∈J0∩J ′ 0 j∈J0 j∈J ′ 0 λ ′ jvj (λj − λ ′ j)vj + � j∈J0\J0∩J ′ 0 λjvj − � j∈J ′ 0 \J0∩J ′ 0 λ ′ jvj. Wegen der linearen Unabhängigkeit der vj, j ∈ J, und der Endlichkeit der Menge J0 ∪ J ′ 0 folgt λj − λ ′ j = 0, wenn j ∈ J0 ∩ J ′ 0 λj = 0, wenn j ∈ J0 \ J0 ∩ J ′ 0 λ ′ j = 0, wenn j ∈ J ′ 0 \ J0 ∩ J ′ 0. Also stimmen die beiden Darstellungen v = � j∈J0 λjvj = � j∈J0∩J ′ 0 λjvj und v = � j∈J ′ 0 λ′ jvj = � j∈J0∩J ′ 0 λ′ jvj überein. � 16 / 145
- Seite 1 und 2: Mathematik I für Studierende der G
- Seite 3 und 4: Inhaltsverzeichnis II Die symmetris
- Seite 5 und 6: Lineare Algebra Definition (Vektorr
- Seite 7 und 8: Beispiele von Vektorräumen 1) Der
- Seite 9 und 10: Definition Vektorräume Unterräume
- Seite 11 und 12: Beispiele von Unterräumen Vektorr
- Seite 13 und 14: Vektorräume Unterräume 6) Ein Pol
- Seite 15 und 16: Vektorräume Lineare Unabhängigkei
- Seite 17: Definition (Lineare Hülle) Vektorr
- Seite 21 und 22: Ein Beispiel Vektorräume Erzeugend
- Seite 23 und 24: Satz (Charakterisierung von Basen)
- Seite 25 und 26: Vektorräume Erzeugendensysteme, Ba
- Seite 27 und 28: Lemma (Austauschlemma) Sei (v1, . .
- Seite 29 und 30: Weiter im Beweis: Wir können daher
- Seite 31 und 32: Definition (Dimension) Sei V ein Ve
- Seite 33 und 34: Folgerung Vektorräume Dimension Se
- Seite 35 und 36: Vektorräume Gaußscher Algorithmus
- Seite 37 und 38: Eine Matrix B = (bij) i=1...m j=1,.
- Seite 39 und 40: Vektorräume Gaußscher Algorithmus
- Seite 41 und 42: Weiter im Zahlenbeispiel: ⎛ ⎜
- Seite 43 und 44: Weiter im Zahlenbeispiel: Also k =
- Seite 45 und 46: Kapitel 11 Lineare Abbildungen Vekt
- Seite 47 und 48: Grundlegende Eigenschaften: Lineare
- Seite 49 und 50: Lineare Abbildungen Definition und
- Seite 51 und 52: Satz Lineare Abbildungen Definition
- Seite 53 und 54: Lineare Abbildungen Lineare Abbildu
- Seite 55 und 56: Lineare Abbildungen Lineare Abbildu
- Seite 57 und 58: Lineare Abbildungen Lineare Abbildu
- Seite 59 und 60: Produkt zweier Matrizen Definition
- Seite 61 und 62: Lineare Abbildungen Lineare Abbildu
- Seite 63 und 64: Endomorphismen Lineare Abbildungen
- Seite 65 und 66: Satz Lineare Abbildungen Rang einer
- Seite 67 und 68: Beweis der Behauptung. Lineare Abbi
Weiter im Beweis:<br />
Dann gilt<br />
Vektorräume Lineare Unabhängigkeit<br />
0 = v − v = �<br />
λjvj − �<br />
=<br />
�<br />
j∈J0∩J ′ 0<br />
j∈J0<br />
j∈J ′ 0<br />
λ ′ jvj<br />
(λj − λ ′ j)vj + �<br />
j∈J0\J0∩J ′ 0<br />
λjvj − �<br />
j∈J ′ 0 \J0∩J ′ 0<br />
λ ′ jvj.<br />
Wegen <strong>der</strong> linearen Unabhängigkeit <strong>der</strong> vj, j ∈ J, und <strong>der</strong> Endlichkeit<br />
<strong>der</strong> Menge J0 ∪ J ′ 0 folgt<br />
λj − λ ′ j = 0, wenn j ∈ J0 ∩ J ′ 0<br />
λj = 0, wenn j ∈ J0 \ J0 ∩ J ′ 0<br />
λ ′ j = 0, wenn j ∈ J ′ 0 \ J0 ∩ J ′ 0.<br />
Also stimmen die beiden Darstellungen<br />
v = �<br />
j∈J0 λjvj = �<br />
j∈J0∩J ′ 0 λjvj und v = �<br />
j∈J ′ 0 λ′ jvj = �<br />
j∈J0∩J ′ 0 λ′ jvj überein. �<br />
16 / 145
Change language