Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz
Vektorräume Lineare Unabhängigkeit
Die Familie (vj)j∈J von Vektoren vj ∈ V sei linear unabhängig.
Dann hat jeder Vektor v ∈ span{vj|j ∈ J} eine eindeutige Darstellung
v = �
λjvj, λj ∈ K,
j∈J
wobei λj = 0 für fast alle j ∈ J, d.h. für alle bis auf endlich viele j ∈ J.
Beweis. Sei v in der linearen Hülle vorgegeben.
Nach Definition der linearen Hülle gibt es eine endliche Teilmenge
J0 ⊂ J und eine Darstellung
v = �
λjvj.
j∈J0
Sei v = �
j∈J ′ 0 λ′ jvj eine weitere solche Darstellung mit endlichem
J ′ 0 ⊂ J.
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