Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Folgerung (Cramersche Regel)
Determinante Matrixinversion und Determinanten
Sei A ∈ GL(n, K) und b ∈ K n . Dann gilt:
(i) A −1 = 1
det A � A.
(ii) Die eindeutig bestimmte Lösung x = (xi)i=1...n der Gleichung Ax = b
berechnet sich nach der folgenden Cramerschen Regel
Beweis.
xi = 1
det A det(a1 ∙ ∙ ∙ ai−1 b ai+1 ∙ ∙ ∙ an).
(i) folgt sofort aus det A �= 0 und � AA = (det A)1n.
(ii) Mit �aij = det(a1 ∙ ∙ ∙ ai−1ejai+1 ∙ ∙ ∙ an) und x = A −1 b ist
xi = 1
det A
�
�aijbj =
j
=
1
det A det(a1 ∙ ∙ ∙ ai−1
�
j
bjej ai+1 ∙ ∙ ∙ an)
1
det A det(a1 ∙ ∙ ∙ ai−1b ai+1 ∙ ∙ ∙ an) �
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