Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz
Determinante Matrixinversion und Determinanten
Sei A = (aij)i,j ∈ Mat(n, K) und � A = (�aij)i,j definiert durch
�aij := (−1) i+j det Aji Lemma
= det(a1 ∙ ∙ ∙ ai−1ej ai+1 ∙ ∙ ∙ an).
Dann gilt � AA = A � A = (det A)1n.
Beweis. Wir zeigen zuerst � AA = (det A)1n:
�
j
�aijajk
Lemma
=
�
ajk det(a1 ∙ ∙ ∙ ai−1 ej ai+1 ∙ ∙ ∙ an)
j
= det(a1 ∙ ∙ ∙ ai−1
=ak
��
�� �
ajkej ai+1 ∙ ∙ ∙ an) = δik det A.
j
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