Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Determinante Matrixinversion und Determinanten
Beweis von (ii). Die (n × n)-Matrix (a1 ∙ ∙ ∙ aj−1eiaj+1 ∙ ∙ ∙ an) lässt sich
durch Addition von Vielfachen der j-ten Spalte zu den anderen Spalten in
folgende Form bringen:
⎛
⎞
⎜
Bij = ⎜
⎝
a11 ∙ ∙ ∙ a1 j−1 0 a1 j+1 ∙ ∙ ∙ a1n
.
.
.
ai−1 1 ∙ ∙ ∙ ai−1 j−1 0 ai−1 j+1 ∙ ∙ ∙ ai−1 n
0 ∙ ∙ ∙ 0 1 0 ∙ ∙ ∙ 0
ai+1 1 ∙ ∙ ∙ ai+1 j−1 0 ai+1 j+1 ∙ ∙ ∙ ai+1 n
.
.
.
an1 ∙ ∙ ∙ an j−1 0 an j+1 ∙ ∙ ∙ ann
Die Matrix Bij lässt sich durch i − 1 Zeilen- und j −
�
1
1
Spaltenvertauschungen in die Blockdiagonalgestalt
0
Also det(a1 ∙ ∙ ∙ aj−1eiaj+1 ∙ ∙ ∙ an) =
0
Aij
�
bringen.
det Bij = (−1) (i−1)+(j−1) det Aij = (−1) i+j det Aij. �
.
.
.
.
⎟
⎠
139 / 145