Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Folgerung Determinante Transponierte Matrix (ii) Addition des λ-fachen der j-ten Zeile der Matrix A zur i-ten Zeile (i �= j) ändert nicht den Wert der Determinante. (iii) Vertauschen der i-ten und j-ten Zeile (i �= j) ändert die Determinante nur um ein Vorzeichen. (iv) Insbesondere lässt sich die Determinante durch Anwendung des Gaußalgorithmus auf die Zeilen der Matrix berechnen (bei Buchführung über die Zeilenvertauschungen!). 135 / 145
Matrixinversion mittels Gaußalgorithmus Determinante Matrixinversion und Determinanten Wir wollen die Inverse A −1 zu A ∈ GL(n, K) bestimmen. Dazu erinnern wir uns an: i-te Spalte von A −1 = A −1 ei, wobei ei der i-te Vektor der kanonischen Basis ist. Nun ist x := A −1 ei, also die i-te Spalte von A −1 , die eindeutige Lösung von des Gleichungssystems Ax = ei. D.h. wir können x bestimmen, indem wir den Gaußschen Algorithmus auf (A|ei) anwenden bis wir (1n|x) erhalten. Somit haben wir die i-te Spalte x = A −1 ei von A −1 ermittelt. D.h. das Verfahren auf alle Basisvektoren ei gleichzeitig angewandt (A | 1n) liefert die inverse Matrix A −1 = A ′ . Gaußscher Alg. −→ � 1n | A ′� 136 / 145
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Matrixinversion mittels Gaußalgorithmus<br />
Determinante Matrixinversion und Determinanten<br />
Wir wollen die Inverse A −1 zu A ∈ GL(n, K) bestimmen. Dazu erinnern<br />
wir uns an:<br />
i-te Spalte von A −1 = A −1 ei, wobei ei <strong>der</strong> i-te Vektor <strong>der</strong><br />
kanonischen Basis ist.<br />
Nun ist x := A −1 ei, also die i-te Spalte von A −1 , die eindeutige<br />
Lösung von des Gleichungssystems Ax = ei.<br />
D.h. wir können x bestimmen, indem wir den Gaußschen Algorithmus<br />
auf (A|ei) anwenden bis wir (1n|x) erhalten.<br />
Somit haben wir die i-te Spalte x = A −1 ei von A −1 ermittelt. D.h. das<br />
Verfahren auf alle Basisvektoren ei gleichzeitig angewandt<br />
(A | 1n)<br />
liefert die inverse Matrix A −1 = A ′ .<br />
Gaußscher Alg.<br />
−→<br />
� 1n | A ′�<br />
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