Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Satz Determinante Transponierte Matrix Für alle A ∈ Mat(m, n, K) und B ∈ Mat(n, r, K) gilt (AB) t = B t A t . Beweis. Für C = AB und D = B t A t gilt (C t )ki = cik = n� aijbjk = j=1 n� j=1 (B t )kj(A t )ji = (D)ki. � 131 / 145
Folgerung (i) Die Involution Determinante Transponierte Matrix GL(n, K) → GL(n, K) A ↦→ (A −1 ) t ist ein Gruppenautomorphismus von GL(n, K). (ii) Für alle A ∈ GL(n, K) gilt (A −1 ) t = (A t ) −1 . Beweis. Übung. � 132 / 145
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Folgerung<br />
(i) Die Involution<br />
Determinante Transponierte Matrix<br />
GL(n, K) → GL(n, K)<br />
A ↦→ (A −1 ) t<br />
ist ein Gruppenautomorphismus von GL(n, K).<br />
(ii) Für alle A ∈ GL(n, K) gilt (A −1 ) t = (A t ) −1 .<br />
Beweis. Übung. �<br />
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