Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Orientierung Determinante Orientierung Definition Sei V ein reeller Vektorraum der Dimension n ∈ N. Eine Orientierung von V ist eine Äquivalenzklasse gleich orientierter Basen von V . Bemerkungen Jede Basis B = (b1, . . . , bn) definiert eine Orientierung [B]. Wie wir gesehen haben, gibt es genau zwei Orientierungen [B] und [B] op = [(−b1, b2, . . . , bn)]. Letztere heißt die zu [B] entgegengesetzte (oder umgekehrte) Orientierung. Automorphismen F ∈ GL(V ) mit det F > 0 heißen orientierungserhaltend, denn FB = (Fb1, . . . , Fbn) ∈ [B] für jede Basis B = (b1, . . . , bn). F ∈ GL(V ) mit det F < 0 heißt orientierungsumkehrend, denn FB = (Fb1, . . . , Fbn) ∈ [B] op für jede Basis B. 127 / 145
Orientierung Beispiele I Determinante Orientierung Die kanonische Orientierung des R n ist die durch die kanonische Basis definierte Orientierung [(e1, . . . , en)]. Die Basen (e2, e3, e1) und (−e2, e1, e3) definieren z.B. die kanonische Orientierung des R 3 . Die Basis (e2, e1, e3) definiert die entgegengesetzte Orientierung [(−e1, e2, e3)]. Die Drehung (um die z-Achse, entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel ϕ) ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞ 0 D = ⎝ sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ 0 0 1 ist wegen det D = 1 > 0 orientierungserhaltend. 128 / 145
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Orientierung<br />
Determinante Orientierung<br />
Definition<br />
Sei V ein reeller Vektorraum <strong>der</strong> Dimension n ∈ N. Eine Orientierung von<br />
V ist eine Äquivalenzklasse gleich orientierter Basen von V .<br />
Bemerkungen<br />
Jede Basis B = (b1, . . . , bn) definiert eine Orientierung [B]. Wie wir<br />
gesehen haben, gibt es genau zwei Orientierungen [B] und<br />
[B] op = [(−b1, b2, . . . , bn)]. Letztere heißt die zu [B]<br />
entgegengesetzte (o<strong>der</strong> umgekehrte) Orientierung.<br />
Automorphismen F ∈ GL(V ) mit det F > 0 heißen<br />
orientierungserhaltend, denn FB = (Fb1, . . . , Fbn) ∈ [B] <strong>für</strong> jede<br />
Basis B = (b1, . . . , bn). F ∈ GL(V ) mit det F < 0 heißt<br />
orientierungsumkehrend, denn FB = (Fb1, . . . , Fbn) ∈ [B] op <strong>für</strong> jede<br />
Basis B.<br />
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