Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ... Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
Satz (Determinantenmultiplikationssatz) Determinante Determinantenmultiplikationssatz Aus D1-D3 folgt für alle A, B ∈ Mat(n, K): det(AB) = det(A) det(B). Beweis. 1. Fall Falls rg(A) < n, so ist rg(AB) < n und somit det(AB) = 0 = det(A) det(B) = 0 ∙ det(B). 2. Fall Falls rg(B) < n, so ist ker(B) �= 0 und somit ker(AB) �= 0. Also ebenfalls det(AB) = 0 = det(A) det(B) = det(A) ∙ 0. 3. Fall Seien also A, B invertierbar. Wir halten B mit det B �= 0 fest und zeigen, dass die Funktion �detA := det(A ∙ B) det B eine die Axiome (D1)-(D3) erfüllt ist, woraus wegen der Eindeutigkeit einer solchen Funktion � detA = det A und somit die Behauptung folgt. 115 / 145
Determinante Determinantenmultiplikationssatz Beweis des Determinantenmultiplikationssatzes (D2) Hat A zwei gleiche Zeilen, so ist rgA < n, somit rgAB < n, also det(AB) = 0, also � detA = det(A ∙ B)/ det(B) = 0. (D3) Auch die Funktion � det ist normiert: �detEn = det(En ∙ B) det B = 1 . (D1a) Entsteht � A aus A durch Multiplikation der i-ten Zeile mit λ ∈ K, so ist � A = Δλ,i ∙ A mit ⎛ 1 ⎞ ⎜ Δλ,i := ⎜ ⎝ 1 0 . .. λ 0 . .. ⎟ ⎠ ↑ i–te Spalte. 1 116 / 145
- Seite 67 und 68: Beweis der Behauptung. Lineare Abbi
- Seite 69 und 70: Folgerung Lineare Abbildungen Rang
- Seite 71 und 72: Satz Lineare Abbildungen Der Lösun
- Seite 73 und 74: Lineare Abbildungen Der Lösungsrau
- Seite 75 und 76: Lineare Abbildungen Der Lösungsrau
- Seite 77 und 78: Lineare Abbildungen Der Lösungsrau
- Seite 79 und 80: Innere Summe von Unterräumen Defin
- Seite 81 und 82: Lineare Abbildungen Direkte Summe v
- Seite 83 und 84: Satz Lineare Abbildungen Direkte Su
- Seite 85 und 86: Kapitel 12 Gruppen Lineare Abbildun
- Seite 87 und 88: Beispiele von Gruppen Gruppen Grupp
- Seite 89 und 90: Gruppen Gruppen und Gruppenhomomorp
- Seite 91 und 92: Übungsaufgaben/Beispiele I Gruppen
- Seite 93 und 94: Die symmetrische Gruppe Gruppen Die
- Seite 95 und 96: Satz Gruppen Die symmetrische Grupp
- Seite 97 und 98: Satz Gruppen Die symmetrische Grupp
- Seite 99 und 100: Gruppen Die symmetrische Gruppe Bei
- Seite 101 und 102: Determinante einer 2×2-Matrix Beme
- Seite 103 und 104: Determinante Definition (Determinan
- Seite 105 und 106: Satz Determinante Charakterisisieru
- Seite 107 und 108: Folgerung Determinante Charakterisi
- Seite 109 und 110: Determinante Charakterisisierung de
- Seite 111 und 112: Determinante Charakterisisierung de
- Seite 113 und 114: Determinante Explizite Formel für
- Seite 115 und 116: Determinante Explizite Formel für
- Seite 117: Regel von Sarrus: Determinante Expl
- Seite 121 und 122: Determinante Determinantenmultiplik
- Seite 123 und 124: Determinante Determinantenmultiplik
- Seite 125 und 126: Äquivalenzrelation Determinante Or
- Seite 127 und 128: Dürer Determinante Orientierung Au
- Seite 129 und 130: Orientierung Satz Determinante Orie
- Seite 131 und 132: Orientierung Beispiele I Determinan
- Seite 133 und 134: Definition (Transponierte Matrix) D
- Seite 135 und 136: Folgerung (i) Die Involution Determ
- Seite 137 und 138: Folgerung Determinante Transponiert
- Seite 139 und 140: Matrixinversion mittels Gaußalgori
- Seite 141 und 142: Determinante Matrixinversion und De
- Seite 143 und 144: Satz Determinante Matrixinversion u
- Seite 145 und 146: Determinante Matrixinversion und De
- Seite 147 und 148: Cramersche Regel für n = 2: Determ
Determinante Determinantenmultiplikationssatz<br />
Beweis des Determinantenmultiplikationssatzes<br />
(D2) Hat A zwei gleiche Zeilen, so ist rgA < n, somit rgAB < n, also<br />
det(AB) = 0, also � detA = det(A ∙ B)/ det(B) = 0.<br />
(D3) Auch die Funktion � det ist normiert:<br />
�detEn = det(En ∙ B)<br />
det B<br />
= 1 .<br />
(D1a) Entsteht � A aus A durch Multiplikation <strong>der</strong> i-ten Zeile mit λ ∈ K, so<br />
ist � A = Δλ,i ∙ A mit<br />
⎛<br />
1<br />
⎞<br />
⎜<br />
Δλ,i := ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
. ..<br />
λ<br />
0<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
↑<br />
i–te Spalte.<br />
1<br />
116 / 145
Change language