Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz (Determinantenmultiplikationssatz)
Determinante Determinantenmultiplikationssatz
Aus D1-D3 folgt für alle A, B ∈ Mat(n, K):
det(AB) = det(A) det(B).
Beweis.
1. Fall Falls rg(A) < n, so ist rg(AB) < n und somit
det(AB) = 0 = det(A) det(B) = 0 ∙ det(B).
2. Fall Falls rg(B) < n, so ist ker(B) �= 0 und somit ker(AB) �= 0. Also
ebenfalls det(AB) = 0 = det(A) det(B) = det(A) ∙ 0.
3. Fall Seien also A, B invertierbar. Wir halten B mit det B �= 0 fest und
zeigen, dass die Funktion
�detA :=
det(A ∙ B)
det B
eine die Axiome (D1)-(D3) erfüllt ist, woraus wegen der Eindeutigkeit
einer solchen Funktion � detA = det A und somit die Behauptung folgt.
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