Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Determinante Explizite Formel für die Determinante
Weiter Beweis der expliziten Formel für die Determinante:
(D2): Es genügt zu zeigen, dass beim Vertauschen der Spalten
Det (aτ(1) ∙ ∙ ∙ aτ(n)) = −DetA
� �� �
Aτ :=
für jede Transposition τ gilt. Denn im Falle A = Aτ , der in (D2)
betrachtet wird, folgt dann Det A = Det Aτ = −Det A und somit
Det A = 0, also (D2).
Mit σ ′ := στ = σ ◦ τ haben wir σ = σ ′ τ, ε(σ ′ ) = −ε(σ) und somit
Det(Aτ ) = �
σ∈Sn
= − �
σ ′ ∈Sn
= − �
σ ′ ∈Sn
ε(σ)a σ(1)τ(1) ∙ ∙ ∙ a σ(n)τ(n)
ε(σ ′ )a σ ′ (τ(1))τ(1) ∙ ∙ ∙ a σ ′ (τ(n))τ(n)
ε(σ ′ )a σ ′ (1)1 ∙ ∙ ∙ a σ ′ (n)n = −Det A
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