Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Determinante Explizite Formel für die Determinante Explizite Formel für die Determinante Satz (Explizite Formel für die Determinante) Es gibt genau eine Abbildung det : Mat(n, K) → K mit den Eigenschaften (D1)-(D3). Die Determinante einer (n × n)-Matrix A = (aij)i,j ist durch folgende Formel gegeben: Det A := � ε(σ)aσ(1)1 ∙ ∙ ∙ aσ(n)n. σ∈Sn Beweis. Da wir bereits wissen, dass es höchstens eine Abbildung mit den Eigenschaften (D1)-(D3) gibt, genügt es (D1)-(D3) für die Abbildung Det nachzuweisen, um DetA = det A zu zeigen. 109 / 145
Determinante Explizite Formel für die Determinante Beweis der expliziten Formel für die Determinante: (D1): � σ∈Sn ε(σ)a σ(1)1 ∙ ∙ ∙ (λa σ(i)i + μb σ(i)i) ∙ ∙ ∙ a σ(n)n = λDet A + μ � σ∈Sn ε(σ)a σ(1)1 ∙ ∙ ∙ b σ(i)i ∙ ∙ ∙ a σ(n)n. 110 / 145
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Determinante Explizite Formel <strong>für</strong> die Determinante<br />
Explizite Formel <strong>für</strong> die Determinante<br />
Satz (Explizite Formel <strong>für</strong> die Determinante)<br />
Es gibt genau eine Abbildung det : Mat(n, K) → K mit den Eigenschaften<br />
(D1)-(D3).<br />
Die Determinante einer (n × n)-Matrix A = (aij)i,j ist durch folgende<br />
Formel gegeben:<br />
Det A := �<br />
ε(σ)aσ(1)1 ∙ ∙ ∙ aσ(n)n. σ∈Sn<br />
Beweis. Da wir bereits wissen, dass es höchstens eine Abbildung mit den<br />
Eigenschaften (D1)-(D3) gibt, genügt es (D1)-(D3) <strong>für</strong> die Abbildung Det<br />
nachzuweisen, um DetA = det A zu zeigen.<br />
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