Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Determinante Charakterisisierung <strong>der</strong> Determinante<br />
Beweis des Satzes: Da A invertierbar ist, ist rg(A) = n. Daher können<br />
wir durch Anwendung des Gaußalgorithmus auf die Spalten (statt auf die<br />
Zeilen), mittels (S1)-(S2) die Matrix A in untere Dreiecksgestalt bringen:<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
λ1<br />
. ..<br />
0<br />
∗ λn<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Diese Matrix hat Rang n, da die Umformungen (S1)-(S2) den Rang nicht<br />
än<strong>der</strong>n.<br />
Also ist das Produkt λ1 ∙ ∙ ∙ λn �= 0.<br />
Durch Umformungen (S2) können wir deswegen alle Matrixeinträge<br />
unterhalb <strong>der</strong> Diagonalen eliminieren und erhalten die gewünsche<br />
Diagonalgestalt A ′ = diag(λ1, . . . , λn). �<br />
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