Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Determinante Charakterisisierung der Determinante
Berechnung der Determinante mittels Spaltenumformungen
Satz
Jede invertierbare Matrix A ∈ GL(n, K) lässt sich durch wiederholtes
Anwenden folgender zwei Spaltenumformungen in eine Diagonalmatrix
A ′ = diag(λ1, . . . , λn) := (λ1e1 ∙ ∙ ∙ λnen) überführen:
(S1) Vertauschen von zwei Spalten bei gleichzeitiger Multiplikation einer
der beiden mit −1 und
(S2) Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte.
Folgerung
Für A invertierbar und A ′ wie im Satz gilt det A = det A ′ = λ1 ∙ ∙ ∙ λn �= 0.
Beweis der Folgerung
Die Spaltenumformungen (S1)-(S2) ändern nicht den Wert der
Determinante. Somit erhalten wir aus dem Satz:
det A = det A ′
(D1)
= λ1 ∙ ∙ ∙ λn det(1n) (D3)
= λ1 ∙ ∙ ∙ λn. �
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