Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz
Determinante Charakterisisierung der Determinante
Sei A = (a1 ∙ ∙ ∙ an) ∈ Mat(n, K). Aus (D1)-(D2) folgt für jede Permutation
σ ∈ Sn:
(∗) det(a σ(1) ∙ ∙ ∙ a σ(n)) = ε(σ) det A.
Beweis. Aus (D1)-(D2) erhalten wir für i < j
0 = det(∙ ∙ ∙ ai + aj ∙ ∙ ∙ ai + aj ∙ ∙ ∙ )
= det(∙ ∙ ∙ ai ∙ ∙ ∙ ai ∙ ∙ ∙ ) + det(∙ ∙ ∙ ai ∙ ∙ ∙ aj ∙ ∙ ∙ )
� �� �
=0
+ det(∙ ∙ ∙ aj ∙ ∙ ∙ ai ∙ ∙ ∙ ) + det(∙ ∙ ∙ aj ∙ ∙ ∙ aj ∙ ∙ ∙ )
� �� �
=0
= det(∙ ∙ ∙ ai ∙ ∙ ∙ aj ∙ ∙ ∙ ) + det(∙ ∙ ∙ aj ∙ ∙ ∙ ai ∙ ∙ ∙ ).
Hierbei ist die i-te und j-te Spalte angegeben. Die drei Auslassungspunkte
stehen für a1 ∙ ∙ ∙ ai−1, sowie ai+1 ∙ ∙ ∙ aj−1 und aj+1 ∙ ∙ ∙ an.
Das beweist (*) für jede Transposition σ = τij.
Der allgemeine Fall folgt nun daraus, dass sich jede Permutation als
Produkt von Transpositionen schreiben lässt. �
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