Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

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Projektivitäten und Zentralprojektionen 6 Umgekehrt kann man durch Einsetzen von x0 = 1 die inhomogenen Gleichungen von Y = Y ∩ Kn zurückerhalten: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞ 1 ⎜ x1 ⎟ −b1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x1 ⎟ A · ⎜ ⎟ = 0 ⇒ ⎝ ⎝ . ⎠ . B ⎠ · ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ −bm = ⎛ ⎞ 0. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 xn ⇒ ⎛ ⎜ ⎝ −b1 + B11x1 + · · · + B1nxn . ⎞ ⎛ ⎞ 0. ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ = ⎝ ⎠ ⇒ −bm + Bm1x1 + · · · + Bmnxn ⎛ ⎞ ⎛ b1 B11x1 + · · · + B1nxn ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ . ⎠ + ⎝ . 0 ⎞ ⎛ ⎞ 0. ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ = ⎝ ⎠ bm ⎛ ⎞ Bm1x1 + · · · + Bmnxn ⎛ ⎞ 0 ⇒ B · ⎜ ⎝ x1 . xn ⎟ ⎜ ⎠ = ⎝ b1 . bm ⎟ ⎠ xn Beispiel: Wir bestimmen ein Gleichungssystem für den projektiven Abschluss in P3(R) von der Geraden Y = (1, 0, 2) T ∨ (3, 1, 0) T ⊂ R 3 . Der Verbindungsraum zweier Vektoren ist gleichzusetzen mit der Differenz zweier Vektoren, d.h. wir bilden die Differenz der beiden gegebenen Vektoren: ⎛ ⎞ 3 ⎛ ⎞ 1 ⎛ 2 ⎞ ⎝ 1 ⎠ − ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ 0 2 −2 ⎛ Wählen wir den Vektor ⎝ 1 0 2 ⎞ ⎛ ⎠ als Ortsvektor“ und den Vektor ⎝ ” x3 2 1 −2 ⎞ ⎠ als ” Rich- tungsvektor“, dann erhalten wir folgende Parametergleichung (eine andere Form unserer Geraden Y ): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x1 1 ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + λ ⎝ 2 1 ⎞ ⎠ 2 −2 Wir bilden: x1 = 1 + 2λ x2 = λ x3 = 2 − 2λ
Projektivitäten und Zentralprojektionen 7 Nach umformen und einsetzen für λ = x2 erhalten wir unser gesuchtes Gleichungssystem: x1 − 2x2 = 1 x2 = 0 −2x2 − x3 = −2.
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