Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

Projektivitäten und Zentralprojektionen 6
Umgekehrt kann man durch Einsetzen von x0 = 1 die inhomogenen Gleichungen von
Y = Y ∩ Kn zurückerhalten:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞ 1
⎜ x1
⎟
−b1 ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ x1
⎟
A · ⎜ ⎟ = 0 ⇒ ⎝
⎝ . ⎠
. B ⎠ · ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
−bm
=
⎛ ⎞
0.
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
xn
⇒
⎛
⎜
⎝
−b1 + B11x1 + · · · + B1nxn
.
⎞ ⎛ ⎞
0.
⎟ ⎜ ⎟
⎠ = ⎝ ⎠
⇒
−bm + Bm1x1 + · · · + Bmnxn
⎛ ⎞ ⎛
b1 B11x1 + · · · + B1nxn
⎜ ⎟ ⎜
− ⎝ . ⎠ + ⎝ .
0
⎞ ⎛ ⎞
0.
⎟ ⎜ ⎟
⎠ = ⎝ ⎠
bm
⎛ ⎞
Bm1x1 + · · · + Bmnxn
⎛ ⎞
0
⇒ B ·
⎜
⎝
x1
.
xn
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
b1
.
bm
⎟
⎠
xn
Beispiel:
Wir bestimmen ein Gleichungssystem für den projektiven Abschluss in P3(R) von der
Geraden Y = (1, 0, 2) T ∨ (3, 1, 0) T ⊂ R 3 .
Der Verbindungsraum zweier Vektoren ist gleichzusetzen mit der Differenz zweier Vektoren,
d.h. wir bilden die Differenz der beiden gegebenen Vektoren:
⎛ ⎞
3
⎛ ⎞
1
⎛
2
⎞
⎝ 1 ⎠ − ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 1 ⎠
0 2 −2
⎛
Wählen wir den Vektor ⎝
1
0
2
⎞
⎛
⎠ als Ortsvektor“ und den Vektor ⎝
”
x3
2
1
−2
⎞
⎠ als ” Rich-
tungsvektor“, dann erhalten wir folgende Parametergleichung (eine andere Form unserer
Geraden Y ): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
x1 1
⎝ x2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + λ ⎝
2
1
⎞
⎠
2 −2
Wir bilden:
x1 = 1 + 2λ
x2 = λ
x3 = 2 − 2λ