Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

Projektivitäten und Zentralprojektionen 5
braucht man nur Koordinatensysteme zu wählen:
Pn(K) −−−→ P(V )
f ′
⏐
⏐
⏐
⏐
�
�f
Pn(K)
κ
κ ′
−−−→ P(W )
2.4 Beschreibung projektiver Unterräume durch lineare Gleichungssysteme
Man kann mit Hilfe von Koordinaten projektive Unterräume durch lineare Gleichungssysteme
beschreiben. Wir betrachten also einen projektiven Unterraum Z ∈ Pn(K)
der Dimension n − m, dann gibt es zu diesem projektiven Unterraum eine Matrix
A ∈ Mm×(n+1)(K) vom Rang m, so dass
Z = P( � x ∈ K n+1 |A · x = 0 � ) = P( � (x0, . . . , xn) ∈ K n+1 |A · x = 0 � )
⇔
Z = {x ∈ Pn(K)|A · x = 0} = {(x0 : . . . : xn) ∈ Pn(K)|A · x = 0} .
Wobei die Abbildung x ↦→ Ax allerdings nur auf K n+1 definiert ist, es sind aber für ein
x ∈ K n+1
gleichbedeutend, wenn λ ∈ K\ {0}.
A · x = 0 ⇔ A · (x0 : . . . : xn) T = 0
und
A · (λx) = 0 ⇔ A · λ(x0, . . . , xn) T = 0
Der projektive Abschluss eines affinen Unterraums Y ⊂ K n ist definiert als Y = Y ∪Y∞,
wobei Y∞ die Menge aller unendlich fernen Punkte zu Y beschreibt.
Durch die Homogenisierung des Gleichungssystems kann man den projektiven Abschluss
von Y bestimmen. Zu Y gibt es eine Matrix B ∈ Mm×n(K) und ein b = (b1, . . . , bm) T ∈
K m mit Y = {x ∈ K n |B · x = b}.
Für den projektiven Abschluss Y in Pn(K) gilt folglich
Die Matrix A erhält man so:
Y = � (x0 : . . . : xn) ∈ Pn(K)|A · (x0 : . . . : xn) T = 0 � .
A :=
⎛
⎜
⎝
−b1
. B
−bm
Also ist A ∈ Mm×(n+1)(K). Außerdem ist der projektive Abschluss von Y ein projektiver
Unterraum von Pn(K).
⎞
⎟
⎠