Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

Projektivitäten und Zentralprojektionen 4
⎫
p0 = κ(1 : 0 : . . . : 0)
⎪⎬
.
∈ P(V )
pn = κ(0 : . . . : 0 : 1)
⎪⎭
pn+1 = κ(1 : . . . . . . : 1)
2.3 Beschreibung von Projektivitäten durch Matrizen
Aus der linearen Algebra wissen wir, dass man mit Hilfe von Koordinaten lineare Abbildungen
durch Matrizen beschreiben kann. Daraus kann man auch eine Beschreibung
von Projektivitäten durch Matrizen erhalten.
Wenn eine Projektivität f : Pn(K) → Pn(K) gegeben ist, so kann man mit f = P(F )
folgenden Isomorphismus betrachten: F : Kn+1 → Kn+1 .
Man kann F bezüglich ihrer Basis durch eine Matrix
⎛
⎞
A =
⎜
⎝
a00 . . . a0n
.
. .. .
an0 . . . ann
beschreiben, wobei A ∈ GLn+1(K). Wenn A eine solche Gestalt hat, dann kann man f
in homogenen Koordinaten beschreiben:
f(x0 : . . . : xn) = ((a00x0 + . . . + a0nxn) : . . . : (an0x0 + . . . + annxn)).
Wir betrachten den affinen Standpunkt dazu genauer. Der K n ist in Pn(K) eingebettet
und sein Komplement ist die Hyperebene
⎟
⎠
H := {(x0 : . . . : xn) ∈ Pn(K)|x0 = 0} .
Für p = (x0 : . . . : xn) ∈ Pn(K)\H erhält man inhomogene Koordinaten ( x1
x0
, . . . , xn
x0 ).
Man kann formal auch die inhomogenen Koordinaten von f(p) = (y0 : . . . : yn) ausrechnen
und es ergibt sich
y1
y0
yn
y0
.
= a10 + a11x1 + . . . + a1nxn
,
a00 + a01x1 + . . . + a0nxn
.
= an0 + an1x1 + . . . + annxn
.
a00 + a01x1 + . . . + a0nxn
Zur Beschreibung durch Matrizen von Projektivitäten beliebiger projektiver Räume