Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

Projektivitäten und Zentralprojektionen 3
(1) Eindeutigkeit:
Man wählt entsprechend dem Lemma eine Basis (v0, . . . , vn) von V und eine Basis
(w0, . . . , wn) von W.
Angenommen es gäbe einen Isomorphismus F : V → W mit f = P(F ) (d.h. f(Kv) =
KF (v) = Kw). Wegen f(pi) = qi (für i = 1, ..., n) folgt aus der Eigenschaft der Basen:
Für f(pn+1) = qn+1 gilt:
F (v0) = λ0w0, . . . , F (vn) = λnwn mit λ0, . . . , λn ∈ K\{0}.
F (v0 + . . . + vn) = λ(w0 + . . . + wn) für ein λ ∈ K\{0}.
Aus der Linearität von F folgt:
F (v0 + . . . + vn) = F (v0) + . . . + F (vn) = λ0w0 + . . . + λnwn
F (v0 + . . . + vn) = λ(w0 + . . . + wn) = λw0 + . . . + λwn
⇒ λ0 = λ1 = . . . = λn = λ
Also ist F bis auf einen Faktor λ eindeutig bestimmt, woraus die Eindeutigkeit von f
folgt.
(2) Existenz:
Die Existenz der Projektivität f lässt sich einfach aus dem F , dass wir erhalten haben,
definieren. Dazu nutzt man die nützliche Eigenschaft f = P(F ) ⇔ f(Kv) = KF (v).
Somit ist auch die Existenz der Projektivität gezeigt.
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2.2 Anwendung: Einführung projektiver Koordinaten
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, wie man mit Hilfe des Satzes 1.2 Koordinaten
in einem projektiven Raum einführen kann.
Sei P(V ) projektiver Raum über K mit dim P(V ) = n. Man versteht dann unter einem
projektiven Koordinatensystem eine Projektivität κ : Pn(K) → P(V ).
Ist p = κ(x0 : . . . : xn) ∈ P(V ), so heißt (x0 : . . . : xn) ein homogener Koordinatenvektor
des Punktes p. Dieser ist bis auf einen Skalar λ �= 0 eindeutig bestimmt (Definition
homogene Koordinaten).
Nach Satz 1.2 gilt nun folgendes:
Ist eine projektive Basis (p0, . . . , pn+1) gegeben, dann gibt es genau ein projektives
Koordinatensystem
κ : Pn(K) → P(V ) mit