Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

2 Projektivitäten
Projektivitäten und Zentralprojektionen 2
2.1 Eindeutigkeit der Projektivität
Lemma 2.1 Ist (p0, . . . , pn+1) eine projektive Basis von P(V ), so gibt es eine Basis
(v0, . . . , vn) von V mit
Beweis:
p0 = Kv0, . . . , pn = Kvn
pn+1 = K(v0 + . . . + vn).
Da (p0, . . . , pn+1) nach Voraussetzung eine projektive Basis ist, sind (p0, . . . , pn) projektiv
unabhängig, d.h. es gibt eine Basis w0, . . . , wn aus V mit
Weiterhin gibt es λ0, . . . , λn ∈ K mit
p0 = Kw0, . . . , pn = Kwn.
pn+1 = K(λ0w0 + . . . + λnwn).
Setzt man nun λ0 = 0, dann folgt daraus, dass (p1, . . . , pn+1) nicht projektiv unabhängig
sind, denn es gilt pn+1 = K(λ1w1 + . . . + λnwn) = Kλ1w1 + . . . + Kλnwn =
λ1(Kw1) + . . . + λn(Kwn) = λ1p1 + . . . + λnpn. Somit ist pn+1 Linearkombination von
p1, ..., pn. Analog zeigt man λi �= 0 für i = 1, . . . , n.
Damit (p1, . . . , pn+1) projektiv unabhängig sind, muss also gelten: λ0 �= 0, λ1 �= 0, . . . , λn �=
0 . Setzt man v0 = λ0w0, . . . , vn = λnwn (d.h. die Basen (v0, . . . , vn) und (w0, . . . , wn)
von V unterscheiden sich nur um ein skalares Vielfaches), dann erhält man die gesuchte
Basis (v0, . . . , vn).
�
Der folgende Satz erinnert uns an einen wichtigen Satz aus der linearen Algebra und ist
eines der grundlegenden Ergebnisse der projektiven Geometrie, den wir mit Hilfe des
Lemmas 1.1 beweisen werden:
Satz 2.2 Seien P(V ) und P(W ) projektive Räume mit dim P(V ) = dim P(W ) und mit
zugehörigen projektiven Basen (p0, . . . , pn+1) und (q0, . . . , qn+1) .
Dann gibt es genau eine Projektivität
mit
f : P(V ) → P(W )
f(pi) = qi , i = 0, . . . , n + 1.
Beweis:
Es ist die Existenz und die Eindeutigkeit so einer Projektivität zu zeigen.