Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

Projektivitäten und Zentralprojektionen 9
Es gilt also für alle p ∈ Z1: f(p) = (Z ∨ p) ∩ Z2 ∈ Z2. Nun kann man p darstellen als
p = P(Kv1) ∈ Z1 ⇒ Z ∨ p = P(W ⊕ Kv1).
Weiterhin kann man v1 nach (b) eindeutig darstellen als
Daraus folgt direkt
v1 = v + v2, mit v1 ∈ W1, v2 ∈ W2 und v ∈ W .
W ⊕ Kv1 = W ⊕ Kv2
⇒Z ∨ p = P(W ⊕ Kv1) = P(W ⊕ Kv2)
⇒(Z ∨ p) ∩ Z2 = P(W ⊕ Kv2) ∩ P(W2) = P(Kv2) (dies gilt, da W ∩ W2 = {0} )
⇒f(p) ist ein Punkt in Z2.
Wir haben also eine lineare Abbildung definiert
F : W1 → W2, mit v1 = v + v2 ↦→ v2.
Betrachte Injektivität:
W ∩ W1 = {0} ⇒ F (v1) = 0 ⇔ v1 = 0 ⇒ F injektiv.
Da nach Voraussetzung die projektiven Unterräume Z1 und Z2 die gleiche Dimension
haben, besitzen auch die beiden Untervektorräume W1 und W2 die gleiche Dimension
und es gilt folgende Äquivalenz:
F injektiv ⇔ F surjektiv ⇔ F bijektiv
Da F , wie oben gezeigt, injektiv ist, ist F somit auch bijektiv. Also ist f eine Projektivität.
Die obigen Betrachtungen fassen wir abschließend in folgendem Lemma zusammen:
Lemma 3.2 Jede Zentralprojektion ist eine Projektivität.