Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...
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3 <strong>Zentralprojektionen</strong><br />
<strong>Projektivitäten</strong> <strong>und</strong> <strong>Zentralprojektionen</strong> 8<br />
Definition 3.1 Seien Z1, Z2 ⊂ P(V ) gleichdimensionale projektive Unterräume. Eine<br />
Abbildung<br />
f : Z1 → Z2<br />
heißt Zentralprojektion, wenn es einen projektiven Unterraum Z ⊂ P(V ) (das Zentrum<br />
von f) gibt, mit folgenden Eigenschaften (siehe Bild)<br />
(a) Z ∩ Z1 = Z ∩ Z2 = ∅<br />
(b) Z ∨ Z1 = Z ∨ Z2 = P(V )<br />
(c) Für alle p ∈ Z1 ist f(p) = (Z ∨ p) ∩ Z2.<br />
Erklärung zur Definition:<br />
Aus der Definition projektiver Unterräume wissen wir, dass projektive Unterräume<br />
Zi ⊂ P(V ) ebenfalls die Darstellung Zi = P(Wi) mit Untervektorräumen Wi ⊂ V besitzen.<br />
Betrachten wir die oben genannten Eigenschaften genauer, erkennt man, dass ein Zusammenhang<br />
zur direkten Summe bei Untervektorräumen besteht. Wir betrachten also<br />
diese Eigenschaften nicht im ” Projektiven“, sondern mit Hilfe von Vektorräumen <strong>und</strong><br />
erhalten:<br />
Zu (a): W ∩ W1 = W ∩ W2 = {0}<br />
Zu (b): W ⊕ W1 = W ⊕ W2 = V<br />
Dies ist gerade die Definition der direkten Summe aus der linearen Algebra.<br />
Eigenschaft (c) muss etwas genauer betrachtet werden: