Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

3 Zentralprojektionen
Projektivitäten und Zentralprojektionen 8
Definition 3.1 Seien Z1, Z2 ⊂ P(V ) gleichdimensionale projektive Unterräume. Eine
Abbildung
f : Z1 → Z2
heißt Zentralprojektion, wenn es einen projektiven Unterraum Z ⊂ P(V ) (das Zentrum
von f) gibt, mit folgenden Eigenschaften (siehe Bild)
(a) Z ∩ Z1 = Z ∩ Z2 = ∅
(b) Z ∨ Z1 = Z ∨ Z2 = P(V )
(c) Für alle p ∈ Z1 ist f(p) = (Z ∨ p) ∩ Z2.
Erklärung zur Definition:
Aus der Definition projektiver Unterräume wissen wir, dass projektive Unterräume
Zi ⊂ P(V ) ebenfalls die Darstellung Zi = P(Wi) mit Untervektorräumen Wi ⊂ V besitzen.
Betrachten wir die oben genannten Eigenschaften genauer, erkennt man, dass ein Zusammenhang
zur direkten Summe bei Untervektorräumen besteht. Wir betrachten also
diese Eigenschaften nicht im ” Projektiven“, sondern mit Hilfe von Vektorräumen und
erhalten:
Zu (a): W ∩ W1 = W ∩ W2 = {0}
Zu (b): W ⊕ W1 = W ⊕ W2 = V
Dies ist gerade die Definition der direkten Summe aus der linearen Algebra.
Eigenschaft (c) muss etwas genauer betrachtet werden: