Projektivitäten und Zentralprojektionen - Fachbereich Mathematik ...

Anika Pilz
Proseminar ” Projektive Geometrie“
Projektivitäten und Zentralprojektionen
Proseminar im Wintersemester 2009/2010
bei Prof. Dr. Werner Seiler
Universität Kassel
Fachbereich Mathematik

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Projektivitäten 2
2.1 Eindeutigkeit der Projektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Anwendung: Einführung projektiver Koordinaten . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Beschreibung von Projektivitäten durch Matrizen . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Beschreibung projektiver Unterräume durch lineare Gleichungssysteme 5
3 Zentralprojektionen 8

1 Einleitung
Projektivitäten und Zentralprojektionen 1
Die folgende Ausarbeitung entstand auf Basis von Kapitel 3 aus dem Buch [1]. Zu
Beginn betrachten wir ein Lemma, dass wir mit der Definition der projektiven Unabhängigkeit
recht unkompliziert zeigen können. Mit Hilfe dieses Lemmas werden wir
dann einen Satz beweisen, der ein grundlegendes Ereignis der projektiven Geometrie
darstellt. Anschließend betrachten wir einige wichtige Anwendungen des Satzes: Wir
können projektive Koordinaten einführen, Projektivitäten durch Matrizen beschreiben
und projektive Unterräume durch Gleichungssysteme beschreiben.
Zum Schluss führen wir noch den Begriff der Zentralprojektion ein. Diese sind, wie sich
herausstellen wird, ein Spezialfall von Projektivität.

2 Projektivitäten
Projektivitäten und Zentralprojektionen 2
2.1 Eindeutigkeit der Projektivität
Lemma 2.1 Ist (p0, . . . , pn+1) eine projektive Basis von P(V ), so gibt es eine Basis
(v0, . . . , vn) von V mit
Beweis:
p0 = Kv0, . . . , pn = Kvn
pn+1 = K(v0 + . . . + vn).
Da (p0, . . . , pn+1) nach Voraussetzung eine projektive Basis ist, sind (p0, . . . , pn) projektiv
unabhängig, d.h. es gibt eine Basis w0, . . . , wn aus V mit
Weiterhin gibt es λ0, . . . , λn ∈ K mit
p0 = Kw0, . . . , pn = Kwn.
pn+1 = K(λ0w0 + . . . + λnwn).
Setzt man nun λ0 = 0, dann folgt daraus, dass (p1, . . . , pn+1) nicht projektiv unabhängig
sind, denn es gilt pn+1 = K(λ1w1 + . . . + λnwn) = Kλ1w1 + . . . + Kλnwn =
λ1(Kw1) + . . . + λn(Kwn) = λ1p1 + . . . + λnpn. Somit ist pn+1 Linearkombination von
p1, ..., pn. Analog zeigt man λi �= 0 für i = 1, . . . , n.
Damit (p1, . . . , pn+1) projektiv unabhängig sind, muss also gelten: λ0 �= 0, λ1 �= 0, . . . , λn �=
0 . Setzt man v0 = λ0w0, . . . , vn = λnwn (d.h. die Basen (v0, . . . , vn) und (w0, . . . , wn)
von V unterscheiden sich nur um ein skalares Vielfaches), dann erhält man die gesuchte
Basis (v0, . . . , vn).
�
Der folgende Satz erinnert uns an einen wichtigen Satz aus der linearen Algebra und ist
eines der grundlegenden Ergebnisse der projektiven Geometrie, den wir mit Hilfe des
Lemmas 1.1 beweisen werden:
Satz 2.2 Seien P(V ) und P(W ) projektive Räume mit dim P(V ) = dim P(W ) und mit
zugehörigen projektiven Basen (p0, . . . , pn+1) und (q0, . . . , qn+1) .
Dann gibt es genau eine Projektivität
mit
f : P(V ) → P(W )
f(pi) = qi , i = 0, . . . , n + 1.
Beweis:
Es ist die Existenz und die Eindeutigkeit so einer Projektivität zu zeigen.

Projektivitäten und Zentralprojektionen 3
(1) Eindeutigkeit:
Man wählt entsprechend dem Lemma eine Basis (v0, . . . , vn) von V und eine Basis
(w0, . . . , wn) von W.
Angenommen es gäbe einen Isomorphismus F : V → W mit f = P(F ) (d.h. f(Kv) =
KF (v) = Kw). Wegen f(pi) = qi (für i = 1, ..., n) folgt aus der Eigenschaft der Basen:
Für f(pn+1) = qn+1 gilt:
F (v0) = λ0w0, . . . , F (vn) = λnwn mit λ0, . . . , λn ∈ K\{0}.
F (v0 + . . . + vn) = λ(w0 + . . . + wn) für ein λ ∈ K\{0}.
Aus der Linearität von F folgt:
F (v0 + . . . + vn) = F (v0) + . . . + F (vn) = λ0w0 + . . . + λnwn
F (v0 + . . . + vn) = λ(w0 + . . . + wn) = λw0 + . . . + λwn
⇒ λ0 = λ1 = . . . = λn = λ
Also ist F bis auf einen Faktor λ eindeutig bestimmt, woraus die Eindeutigkeit von f
folgt.
(2) Existenz:
Die Existenz der Projektivität f lässt sich einfach aus dem F , dass wir erhalten haben,
definieren. Dazu nutzt man die nützliche Eigenschaft f = P(F ) ⇔ f(Kv) = KF (v).
Somit ist auch die Existenz der Projektivität gezeigt.
�
2.2 Anwendung: Einführung projektiver Koordinaten
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, wie man mit Hilfe des Satzes 1.2 Koordinaten
in einem projektiven Raum einführen kann.
Sei P(V ) projektiver Raum über K mit dim P(V ) = n. Man versteht dann unter einem
projektiven Koordinatensystem eine Projektivität κ : Pn(K) → P(V ).
Ist p = κ(x0 : . . . : xn) ∈ P(V ), so heißt (x0 : . . . : xn) ein homogener Koordinatenvektor
des Punktes p. Dieser ist bis auf einen Skalar λ �= 0 eindeutig bestimmt (Definition
homogene Koordinaten).
Nach Satz 1.2 gilt nun folgendes:
Ist eine projektive Basis (p0, . . . , pn+1) gegeben, dann gibt es genau ein projektives
Koordinatensystem
κ : Pn(K) → P(V ) mit

Projektivitäten und Zentralprojektionen 4
⎫
p0 = κ(1 : 0 : . . . : 0)
⎪⎬
.
∈ P(V )
pn = κ(0 : . . . : 0 : 1)
⎪⎭
pn+1 = κ(1 : . . . . . . : 1)
2.3 Beschreibung von Projektivitäten durch Matrizen
Aus der linearen Algebra wissen wir, dass man mit Hilfe von Koordinaten lineare Abbildungen
durch Matrizen beschreiben kann. Daraus kann man auch eine Beschreibung
von Projektivitäten durch Matrizen erhalten.
Wenn eine Projektivität f : Pn(K) → Pn(K) gegeben ist, so kann man mit f = P(F )
folgenden Isomorphismus betrachten: F : Kn+1 → Kn+1 .
Man kann F bezüglich ihrer Basis durch eine Matrix
⎛
⎞
A =
⎜
⎝
a00 . . . a0n
.
. .. .
an0 . . . ann
beschreiben, wobei A ∈ GLn+1(K). Wenn A eine solche Gestalt hat, dann kann man f
in homogenen Koordinaten beschreiben:
f(x0 : . . . : xn) = ((a00x0 + . . . + a0nxn) : . . . : (an0x0 + . . . + annxn)).
Wir betrachten den affinen Standpunkt dazu genauer. Der K n ist in Pn(K) eingebettet
und sein Komplement ist die Hyperebene
⎟
⎠
H := {(x0 : . . . : xn) ∈ Pn(K)|x0 = 0} .
Für p = (x0 : . . . : xn) ∈ Pn(K)\H erhält man inhomogene Koordinaten ( x1
x0
, . . . , xn
x0 ).
Man kann formal auch die inhomogenen Koordinaten von f(p) = (y0 : . . . : yn) ausrechnen
und es ergibt sich
y1
y0
yn
y0
.
= a10 + a11x1 + . . . + a1nxn
,
a00 + a01x1 + . . . + a0nxn
.
= an0 + an1x1 + . . . + annxn
.
a00 + a01x1 + . . . + a0nxn
Zur Beschreibung durch Matrizen von Projektivitäten beliebiger projektiver Räume

Projektivitäten und Zentralprojektionen 5
braucht man nur Koordinatensysteme zu wählen:
Pn(K) −−−→ P(V )
f ′
⏐
⏐
⏐
⏐
�
�f
Pn(K)
κ
κ ′
−−−→ P(W )
2.4 Beschreibung projektiver Unterräume durch lineare Gleichungssysteme
Man kann mit Hilfe von Koordinaten projektive Unterräume durch lineare Gleichungssysteme
beschreiben. Wir betrachten also einen projektiven Unterraum Z ∈ Pn(K)
der Dimension n − m, dann gibt es zu diesem projektiven Unterraum eine Matrix
A ∈ Mm×(n+1)(K) vom Rang m, so dass
Z = P( � x ∈ K n+1 |A · x = 0 � ) = P( � (x0, . . . , xn) ∈ K n+1 |A · x = 0 � )
⇔
Z = {x ∈ Pn(K)|A · x = 0} = {(x0 : . . . : xn) ∈ Pn(K)|A · x = 0} .
Wobei die Abbildung x ↦→ Ax allerdings nur auf K n+1 definiert ist, es sind aber für ein
x ∈ K n+1
gleichbedeutend, wenn λ ∈ K\ {0}.
A · x = 0 ⇔ A · (x0 : . . . : xn) T = 0
und
A · (λx) = 0 ⇔ A · λ(x0, . . . , xn) T = 0
Der projektive Abschluss eines affinen Unterraums Y ⊂ K n ist definiert als Y = Y ∪Y∞,
wobei Y∞ die Menge aller unendlich fernen Punkte zu Y beschreibt.
Durch die Homogenisierung des Gleichungssystems kann man den projektiven Abschluss
von Y bestimmen. Zu Y gibt es eine Matrix B ∈ Mm×n(K) und ein b = (b1, . . . , bm) T ∈
K m mit Y = {x ∈ K n |B · x = b}.
Für den projektiven Abschluss Y in Pn(K) gilt folglich
Die Matrix A erhält man so:
Y = � (x0 : . . . : xn) ∈ Pn(K)|A · (x0 : . . . : xn) T = 0 � .
A :=
⎛
⎜
⎝
−b1
. B
−bm
Also ist A ∈ Mm×(n+1)(K). Außerdem ist der projektive Abschluss von Y ein projektiver
Unterraum von Pn(K).
⎞
⎟
⎠

Projektivitäten und Zentralprojektionen 6
Umgekehrt kann man durch Einsetzen von x0 = 1 die inhomogenen Gleichungen von
Y = Y ∩ Kn zurückerhalten:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞ 1
⎜ x1
⎟
−b1 ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ x1
⎟
A · ⎜ ⎟ = 0 ⇒ ⎝
⎝ . ⎠
. B ⎠ · ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
−bm
=
⎛ ⎞
0.
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
xn
⇒
⎛
⎜
⎝
−b1 + B11x1 + · · · + B1nxn
.
⎞ ⎛ ⎞
0.
⎟ ⎜ ⎟
⎠ = ⎝ ⎠
⇒
−bm + Bm1x1 + · · · + Bmnxn
⎛ ⎞ ⎛
b1 B11x1 + · · · + B1nxn
⎜ ⎟ ⎜
− ⎝ . ⎠ + ⎝ .
0
⎞ ⎛ ⎞
0.
⎟ ⎜ ⎟
⎠ = ⎝ ⎠
bm
⎛ ⎞
Bm1x1 + · · · + Bmnxn
⎛ ⎞
0
⇒ B ·
⎜
⎝
x1
.
xn
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
b1
.
bm
⎟
⎠
xn
Beispiel:
Wir bestimmen ein Gleichungssystem für den projektiven Abschluss in P3(R) von der
Geraden Y = (1, 0, 2) T ∨ (3, 1, 0) T ⊂ R 3 .
Der Verbindungsraum zweier Vektoren ist gleichzusetzen mit der Differenz zweier Vektoren,
d.h. wir bilden die Differenz der beiden gegebenen Vektoren:
⎛ ⎞
3
⎛ ⎞
1
⎛
2
⎞
⎝ 1 ⎠ − ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 1 ⎠
0 2 −2
⎛
Wählen wir den Vektor ⎝
1
0
2
⎞
⎛
⎠ als Ortsvektor“ und den Vektor ⎝
”
x3
2
1
−2
⎞
⎠ als ” Rich-
tungsvektor“, dann erhalten wir folgende Parametergleichung (eine andere Form unserer
Geraden Y ): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
x1 1
⎝ x2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + λ ⎝
2
1
⎞
⎠
2 −2
Wir bilden:
x1 = 1 + 2λ
x2 = λ
x3 = 2 − 2λ

Projektivitäten und Zentralprojektionen 7
Nach umformen und einsetzen für λ = x2 erhalten wir unser gesuchtes Gleichungssystem:
x1 − 2x2 = 1
x2 = 0
−2x2 − x3 = −2.

3 Zentralprojektionen
Projektivitäten und Zentralprojektionen 8
Definition 3.1 Seien Z1, Z2 ⊂ P(V ) gleichdimensionale projektive Unterräume. Eine
Abbildung
f : Z1 → Z2
heißt Zentralprojektion, wenn es einen projektiven Unterraum Z ⊂ P(V ) (das Zentrum
von f) gibt, mit folgenden Eigenschaften (siehe Bild)
(a) Z ∩ Z1 = Z ∩ Z2 = ∅
(b) Z ∨ Z1 = Z ∨ Z2 = P(V )
(c) Für alle p ∈ Z1 ist f(p) = (Z ∨ p) ∩ Z2.
Erklärung zur Definition:
Aus der Definition projektiver Unterräume wissen wir, dass projektive Unterräume
Zi ⊂ P(V ) ebenfalls die Darstellung Zi = P(Wi) mit Untervektorräumen Wi ⊂ V besitzen.
Betrachten wir die oben genannten Eigenschaften genauer, erkennt man, dass ein Zusammenhang
zur direkten Summe bei Untervektorräumen besteht. Wir betrachten also
diese Eigenschaften nicht im ” Projektiven“, sondern mit Hilfe von Vektorräumen und
erhalten:
Zu (a): W ∩ W1 = W ∩ W2 = {0}
Zu (b): W ⊕ W1 = W ⊕ W2 = V
Dies ist gerade die Definition der direkten Summe aus der linearen Algebra.
Eigenschaft (c) muss etwas genauer betrachtet werden:

Projektivitäten und Zentralprojektionen 9
Es gilt also für alle p ∈ Z1: f(p) = (Z ∨ p) ∩ Z2 ∈ Z2. Nun kann man p darstellen als
p = P(Kv1) ∈ Z1 ⇒ Z ∨ p = P(W ⊕ Kv1).
Weiterhin kann man v1 nach (b) eindeutig darstellen als
Daraus folgt direkt
v1 = v + v2, mit v1 ∈ W1, v2 ∈ W2 und v ∈ W .
W ⊕ Kv1 = W ⊕ Kv2
⇒Z ∨ p = P(W ⊕ Kv1) = P(W ⊕ Kv2)
⇒(Z ∨ p) ∩ Z2 = P(W ⊕ Kv2) ∩ P(W2) = P(Kv2) (dies gilt, da W ∩ W2 = {0} )
⇒f(p) ist ein Punkt in Z2.
Wir haben also eine lineare Abbildung definiert
F : W1 → W2, mit v1 = v + v2 ↦→ v2.
Betrachte Injektivität:
W ∩ W1 = {0} ⇒ F (v1) = 0 ⇔ v1 = 0 ⇒ F injektiv.
Da nach Voraussetzung die projektiven Unterräume Z1 und Z2 die gleiche Dimension
haben, besitzen auch die beiden Untervektorräume W1 und W2 die gleiche Dimension
und es gilt folgende Äquivalenz:
F injektiv ⇔ F surjektiv ⇔ F bijektiv
Da F , wie oben gezeigt, injektiv ist, ist F somit auch bijektiv. Also ist f eine Projektivität.
Die obigen Betrachtungen fassen wir abschließend in folgendem Lemma zusammen:
Lemma 3.2 Jede Zentralprojektion ist eine Projektivität.

Literatur
[1] Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 7. Auflage. Vieweg.
[2] Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15. Auflage. Vieweg.