Algorithmisches Differenzieren - M1

2 VORWÄRTS–METHODE 8
Beispiel 2
Gegeben sei die differenzierbare Funktion
f : D ⊆ IR 3 → IR mit f(x) = (x1 − 7) · sin(x1 + x2)
,
wobei D = {x|x = (x1, x2, x3) ∈ IR 3 , x3 �= 0}. Gewünscht ist f ′ (−13, 8, 0.3). Zu
gegebenem x ∈ D kann der Funktionswert f(x) schrittweise berechnet werden wie in
Spalte 1 des folgenden Schemas angegeben. Hier ist y9 = f(x).
y1 = x1 f1(x) = x1 Y1 ← (x1, [1, 0, 0])
y2 = x2 f2(x) = x2 Y2 ← (x2, [0, 1, 0])
y3 = x3 f3(x) = x3 Y3 ← (x3, [0, 0, 1])
y4 = 7 f4(x) = 7 Y4 ← (7, [0, 0, 0])
y5 = y1 − y4 f5(x) = f1(x) − f4(x) Y5 ← RAT(−, Y1, Y4)
y6 = y1 + y2 f6(x) = f1(x) + f2(x) Y6 ← RAT(+, Y1, Y2)
y7 = sin(y6) f7(x) = sin(f6(x)) Y7 ← LIB(sin, Y6)
y8 = y5 · y7 f8(x) = f5(x) · f7(x) Y8 ← RAT(·, Y5, Y7)
y9 = y8/y3 f9(x) = f8(x)/f3(x) Y9 ← RAT(/, Y8, Y3)
Das Schema für y1, y2, . . . , y9 erlaubt die Definition von Funktionen f1, f2, . . . , f9 wie
in Spalte 2 angegeben. Offensichtlich ist f9 = f. Nun führen wir Paare Yk =
(fk(x), f ′ k(x)), für k = 1, 2, . . . , 9, ein. Für gegebenes x sind die Paare Y1, Y2, Y3, Y4
bekannt. Und für k = 5, 6, 7, 8, 9 kann das Paar Yk aus bereits ermittelten Paaren mit
RAT und LIB berechnet werden. Das letzte Paar ist
Y9 = (f9(x), f ′ 9(x)) = (f(x), f ′ (x)).
Für x = (−13, 8, 0.3) erhalten wir
f(x) = −63.9 . . . und f ′ (x) = [−15.7 . . . , −18.9 . . . , 213. . . .].
Die Spalte 1 stellt eine code-list für die Funktion f dar, wie sie von L.B. Rall in [121]
verwendet wird. Diese code-list ist ein Algorithmus A zur Berechnung von f(x). Die
Spalte 2 zeigt, daß eine code-list für f eine iterative Folge f1, f2, . . . , f9 von Funktionen
definiert. Und die Spalte 3 kann als Algorithmus A ′ zur Berechnung von f(x) und f ′ (x)
aufgefaßt werden. Die in der Einleitung genannte Transformation DIFF : A → A ′ ist
im Vergleich von Spalte 1 und Spalte 3 ersichtlich. ⊓⊔
x3