Algorithmisches Differenzieren - M1

2 VORWÄRTS–METHODE 7
2.2 Bibliothek–Funktionen
Sei Λ eine Kollektion differenzierbarer reeller Funktionen einer reellen Variablen. Wir
denken dabei an Funktionen wie sin, ln, exp,. . . und ähnliche. Der Kürze halber seien
die Funktionen in Λ Bibliothek–Funktionen genannt. Wir betrachten eine Bibliothek–
Funktion
λ : E ⊆ IR → IR
und eine differenzierbare Funktion
a : D ⊆ IR n → IR.
Unter der Voraussetzung a(D) ⊆ E definieren wir eine neue Funktion
r : D ⊆ IR n → IR mit r(x) := λ(a(x)).
Diese Funktion r ist differenzierbar und es gilt
r ′ (x) = λ ′ (a(x)) · a ′ (x).
Wir nehmen an, die Funktionen λ und λ ′ können für jedes zulässige Argument ausgewertet
werden. Dies ist kein Problem für die üblichen Bibliothek–Funktionen sin, ln,
exp,. . . und ähnliche.
Aus den Formeln für r(x) und r ′ (x) schließen wir:
Das Paar r(x), r ′ (x) kann mittels λ, λ ′ berechnet werden aus dem Paar a(x), a ′ (x).
Diese fast triviale Erkenntnis ist ein weiterer wichtiger Angelpunkt des Algorithmischen
Differenzierens. Der Mechanismus zur Berechnung des Paares r(x), r ′ (x) hängt nicht
von x ab, er ist auch unabhängig von den speziellen Funktionen a und λ. Zur Berechnung
des Paares r(x), r ′ (x) aus dem Paar a(x), a ′ (x) müssen wir allerdings wissen,
welches λ ∈ Λ verwendet werden soll. Dies soll durch folgendes Diagramm verdeutlicht
werden.
r(x), r ′ (x)
✛
LIB
✛
✛
λ
a(x), a ′ (x)
LIB kann realisiert werden als Prozedur in PASCAL, als Subroutine in FORTRAN,
oder als Funktion, wenn die gewählte Programmiersprache das zuläßt. Man kann auch
jede Bibliothek–Funktion einzeln behandeln und den Namen der Bibliothek–Funktion
in den Namen der entsprechenden Prozedur bzw. Subroutine bzw. Funktion stecken.
Wir verwenden hier LIB als Funktion, die zu einer Bibliothek–Funktion λ und zu
einem Paar A = (a(x), a ′ (x)) das Paar R = (r(x), r ′ (x)) berechnet,
R ←− LIB(λ, A).
Ein kurzes Beispiel soll die Verwendung von Bibliothek–Funktionen für die Berechnung
von Ableitungen demonstrieren.