Algorithmisches Differenzieren - M1

2 VORWÄRTS–METHODE 6
Beispiel 1
Gegeben sei die differenzierbare Funktion
f : D ⊆ IR 2 → IR mit f(x) = x1 · x2 − 7
,
x1 + x2
wobei D = {x|x = (x1, x2) ∈ IR 2 , x1 + x2 �= 0}. Gewünscht ist f ′ (3, 8). Wir definieren
Funktionen f1, f2, . . . , f7 : D → IR durch
f1(x) = x1
f2(x) = x2
f3(x) = 7
f4(x) = f1(x) · f2(x)
f5(x) = f4(x) − f3(x)
f6(x) = f1(x) + f2(x)
f7(x) = f5(x) / f6(x)
Offensichtlich ist f7 = f. Da zu gegebenem x ∈ D nacheinander die Werte f1(x),
f2(x),. . . , f7(x) = f(x) berechnet werden können, liegt ein Algorithmus A zur Berechnung
von f(x) vor. Nun betrachten wir die Paare Yk = (fk(x), f ′ k(x)) für k =1, 2, . . . , 7.
Mit x = (3, 8) sind die Paare Y1, Y2, Y3 bekannt. Die folgenden Paare Y4, Y5, Y6, Y7
können schrittweise mit RAT berechnet werden.
Y1 ←− (3, [1, 0])
Y2 ←− (8, [0, 1])
Y3 ←− (7, [0, 0])
Y4 ←− RAT(·, Y1, Y2) = (24, [8, 3])
Y5 ←− RAT(−, Y4, Y3) = (17, [8, 3])
Y6 ←− RAT(+, Y1, Y2) = (11, [1, 1])
Y7 ←− RAT(/, Y5, Y6) = (1.54 . . . , [0.586 . . . , 0.132 . . .])
Somit ist f(3, 8) = 1.54 . . . und f ′ (3, 8) = [0.586 . . . , 0.132 . . .]. ⊓⊔
Für jede explizit gegebene rationale Funktion f und jedes zulässige Argument x können
wir f ′ (x) mit RAT schrittweise berechnen. Eine Formel für die Ableitung f ′ im
herkömmlichen Sinne wird dabei nicht verwendet.