Algorithmisches Differenzieren - M1

2 VORWÄRTS–METHODE 4
2 Vorwärts–Methode
Sei f :D ⊆ IR n → IR eine differenzierbare Funktion. f ′ bezeichne die Ableitung von f.
Dann ist
f ′ �
∂f(x)
(x) = ,
∂x1
∂f(x)
, . . . ,
∂x2
∂f(x)
�
∈ IR
∂xn
1×n .
f ′ (x) ist eine Matrix mit einer Zeile und n Spalten. Wir wollen f ′ (x) zusammensetzen
aus Ableitungen von Teilen von f. Beginnen wir mit ganz einfachen Teilen, mit
kanonischen Projektionen und konstanten Funktionen.
Ist r : IR n → IR eine kanonische Projektion, d.h.
r(x) = xk = k–te Komponente von x,
so ist offensichtlich
r ′ (x) = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0] mit 1 in Position k.
Ist r : IR n → IR eine konstante Funktion, d.h.
so gilt natürlich
r(x) = gegebene oder berechnete Konstante,
r ′ (x) = [0, . . . . . . , 0].
So trivial diese Ableitungen auch sind, wir benötigen sie vorerst als Basis für den
Aufbau von f ′ (x).
Jetzt behandeln wir zwei geläufige Verfahren, aus gegebenen Funktionen in einfacher
Weise neue Funktionen zu bilden, die rationale Komposition und die Verwendung von
Bibliothek–Funktionen.
2.1 Rationale Komposition
Wir betrachten zwei differenzierbare Funktionen
a : D ⊆ IR n → IR und b : D ⊆ IR n → IR.
Sei r eine der Funktionen a + b, a − b, a · b, a/b mit der Einschränkung b(x) �= 0 für
alle x ∈ D im Fall a/b. Die Funktion r ist differenzierbar. In Tabelle 1 sind Formeln
für die Ableitung r ′ angegeben.
Typ r = r ′ =
+ r = a + b r ′ = a ′ + b ′
− r = a − b r ′ = a ′ − b ′
· r = a · b r ′ = b · a ′ + a · b ′
/ r = a / b r ′ = (a ′ − r · b ′ )/b
Tabelle 1: Ableitung der rationalen Komposition
Wir wollen streng unterscheiden zwischen Funktionen und Funktionswerten: r und r ′
sind Funktionen, r(x) und r ′ (x) sind Funktionswerte. Die Tabelle 1 zeigt also Formeln