Algorithmisches Differenzieren - M1

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$Prof. Dr. Bastian von Harrach Dipl. Math. Marcel Ullrich ... - M1$

1 EINLEITUNG 3 und Ableitungswert f ′ (x) zusammen kosten höchstens 4-mal soviel wie der Funktionswert f(x) alleine. Im Vergleich dazu ist die Approximation von f ′ (x) durch einen Differenzen-Quotienten teuer, sie erfordert mindestens n + 1 Funktionswert- Berechnungen. Somit ergibt sich für n > 3 die überraschende Situation: Die Approximation von f ′ (x), berechnet mit einem Differenzen-Quotienten, ist teuerer als der exakte Wert f ′ (x), berechnet mit Algorithmischem Differenzieren. Im Jahr 1959 wurde an der Akademie der Wissenschaften der UdSSR ein Bericht [11] “Programme zum Automatischen Differenzieren für die Maschine BESM” in Russisch geschrieben, der eine der ersten Arbeiten zu unserem Thema ist. Seitdem erschienen etwa 300 einschlägige Veröffentlichungen, ein subjektive Auswahl ist im Literaturverzeichnis zu finden. Rall’s Buch [121] von 1981 ist heute eine Standard–Referenz. Einen guten Überblick geben die Proceedings [70] einer internationalen Tagung im Jahr 1991, herausgegeben von Griewank und Corliss. Von den neueren Veröffentlichungen, insbesondere im Zusammenhang mit der Intervall–Rechnung, ist Lohner’s Arbeit [106] von 1994 zu nennen. Das vorliegende Kapitel enthält die grundlegenden Ideen des Algorithmischen Differenzierens, wobei wir auch auf die Hesse–Matrix einer reellen Funktion von n Veränderlichen eingehen. Die Darstellung ist bewußt breit ausgelegt, sodaß besondere Vorkenntnisse nicht nötig sind.
2 VORWÄRTS–METHODE 4 2 Vorwärts–Methode Sei f :D ⊆ IR n → IR eine differenzierbare Funktion. f ′ bezeichne die Ableitung von f. Dann ist f ′ � ∂f(x) (x) = , ∂x1 ∂f(x) , . . . , ∂x2 ∂f(x) � ∈ IR ∂xn 1×n . f ′ (x) ist eine Matrix mit einer Zeile und n Spalten. Wir wollen f ′ (x) zusammensetzen aus Ableitungen von Teilen von f. Beginnen wir mit ganz einfachen Teilen, mit kanonischen Projektionen und konstanten Funktionen. Ist r : IR n → IR eine kanonische Projektion, d.h. r(x) = xk = k–te Komponente von x, so ist offensichtlich r ′ (x) = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0] mit 1 in Position k. Ist r : IR n → IR eine konstante Funktion, d.h. so gilt natürlich r(x) = gegebene oder berechnete Konstante, r ′ (x) = [0, . . . . . . , 0]. So trivial diese Ableitungen auch sind, wir benötigen sie vorerst als Basis für den Aufbau von f ′ (x). Jetzt behandeln wir zwei geläufige Verfahren, aus gegebenen Funktionen in einfacher Weise neue Funktionen zu bilden, die rationale Komposition und die Verwendung von Bibliothek–Funktionen. 2.1 Rationale Komposition Wir betrachten zwei differenzierbare Funktionen a : D ⊆ IR n → IR und b : D ⊆ IR n → IR. Sei r eine der Funktionen a + b, a − b, a · b, a/b mit der Einschränkung b(x) �= 0 für alle x ∈ D im Fall a/b. Die Funktion r ist differenzierbar. In Tabelle 1 sind Formeln für die Ableitung r ′ angegeben. Typ r = r ′ = + r = a + b r ′ = a ′ + b ′ − r = a − b r ′ = a ′ − b ′ · r = a · b r ′ = b · a ′ + a · b ′ / r = a / b r ′ = (a ′ − r · b ′ )/b Tabelle 1: Ableitung der rationalen Komposition Wir wollen streng unterscheiden zwischen Funktionen und Funktionswerten: r und r ′ sind Funktionen, r(x) und r ′ (x) sind Funktionswerte. Die Tabelle 1 zeigt also Formeln
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