Algorithmisches Differenzieren - M1

1 EINLEITUNG 2
Es ist klar, daß in gewissen Fällen der Differenzen-Quotient die einzige Möglichkeit
ist, Informationen über die Ableitung zu erhalten, z.B. wenn f(x) das Ergebnis eines
Experimentes ist. In vielen Fällen jedoch ist die zu betrachtende Funktion explizit
gegeben, etwa durch einen Algorithmus, oder formelmäßig implizit bestimmt, etwa
durch eine definierende Gleichung. Nun sind Regeln zum Differenzieren bekannt und
einfach. Es liegt also durchaus nahe, die schrittweise Anwendung dieser Regeln und
damit die Berechnung von Ableitungen nicht dem Benutzer aufzubürden, sondern
von einem Algorithmus durchführen zu lassen. Für praktische Anwendungen braucht
man nicht Formeln für Ableitungen, es reicht, wenn die Werte von Ableitungen an
vorgegebenen Stellen berechnet werden können. Die systematische Erzeugung von Algorithmen,
die Ableitungswerte berechnen, und die Verwendung dieser Algorithmen
nennt man Algorithmisches Differenzieren.
Betrachten wir eine differenzierbare Funktion f : D ⊆ IR n → IR. Sei A ein Algorithmus,
der zu gegebenem x ∈ D den Funktionswert f(x) berechnet.
f(x)
✛
A
Wir sind interessiert an einem transformierten Algorithmus A ′ , der zu gegebenem x ∈
D den Funktionswert und den Ableitungswert f ′ (x) berechnet.
f(x), f ′ (x)
✛
✛
x
A ′ ✛ x
Die Transformation von A nach A ′ soll durch einen Algorithmus DIFF erfolgen.
A ′ ✛
✛
DIFF
Wir werden untersuchen, wie für eine große Klasse von Funktionen bzw. Algorithmen
die Transformation DIFF realisiert werden kann.
Für eine rationale Funktion f : D ⊆ IR n → IR sei #(f, A) die Anzahl der rationalen
Operationen zur Berechnung von f(x) mit Algorithmus A, und #(f, f ′ , A ′ ) sei die
Anzahl der rationalen Operationen zur Berechnung von f(x) und f ′ (x) mit Algorithmus
A ′ . Im Vergleich dieser “Kosten” gemäß der Formel
#(f, f ′ , A ′ ) = K · #(f, A)
gibt der Faktor K Auskunft über die Effizienz des Algorithmus A ′ . Und da A ′ durch
DIFF erzeugt wird, ist K auch ein Maß für die Effizienz von DIFF. Bei geschickter
Realisierung von DIFF ergibt sich K ≤ 4. Das heißt: Funktionswert f(x)
A