Algorithmisches Differenzieren - M1

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$Prof. Dr. Bastian von Harrach Dipl. Math. Marcel Ullrich ... - M1$

3 RÜCKWÄRTS–METHODE 21 Beispiel 3 Aller Erfahrung nach haben Leser, denen Automatisches <strong>Differenzieren</strong> noch neu ist, Schwierigkeiten mit der Rückwärts–Methode. Wir wollen daher den Algorithmus RM an einem einfachen Beispiel vorführen. Mit folgendem Schema FUN y1 = x1 y2 = x2 y3 = y1 · y2 y4 = y3 − 7 y5 = y1 + y2 y6 = y4/y5 f(x) = y6 wird eine Funktion f : D ⊆ IR 2 → IR definiert. Für x = (3, 8) sollen Funktionswert f(x) und Ableitungswert f ′ (x) berechnet werden. Gemäß RM Block (1) erzeugen wir y1 = x1 = 3 y2 = x2 = 8 y3 = y1 · y2 = 24 y4 = y3 − 7 = 17 y5 = y1 + y2 = 11 y6 = y4/y5 = 17 11 Somit ist f(3, 8) = 17 11 und die Werte y1, y2, . . . , y6 stehen zur Verfügung. Gemäß RM Block (2) setzen wir U ← [0, 0, 0, 0, 0, 1]. Diese Arbeitszeile U wird nun schrittweise umgeformt. Wir geben alle dazu nötigen Einzelheiten an. k = 6 : T6 = D, i = 4, j = 5 S64 ← U6/y5 = 1/11 = 1 11 und U4 ← U4 + S64 = 0 + 1 11 S65 ← S64 · y6 = 1 17 · 11 11 k = 5 : T5 = A, i = 1, j = 2 = 1 11 = 17 121 und U5 ← U5 − S65 = 0 − 17 121 S51 ← U5 = − 17 121 und U1 ← U1 + S51 = 0 + (− 17 17 ) = − 121 121 S52 ← U5 = − 17 121 und U2 ← U2 + S52 = 0 + (− 17 17 ) = − 121 121 k = 4 : T4 = SVC, i = 3 S43 ← U4 = 1 11 und U3 ← U3 + S43 = 0 + 1 11 k = 3 : T3 = M, i = 1, j = 2 = 1 11 S31 ← U3 · y2 = 1 8 · 8 = 11 11 und U1 ← U1 + S31 = − 17 8 + 121 11 S32 ← U3 · y1 = 1 3 · 3 = 11 11 und U2 ← U2 + S32 = − 17 3 + 121 11 = − 17 121 = 71 121 = 16 121
3 RÜCKWÄRTS–METHODE 22 Schließlich erhalten wir f ′ (3, 8) = [U1, U2] = � � 71 16 , . 121 121
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