Algorithmisches Differenzieren - M1

3 RÜCKWÄRTS–METHODE 21
Beispiel 3
Aller Erfahrung nach haben Leser, denen Automatisches Differenzieren noch neu ist,
Schwierigkeiten mit der Rückwärts–Methode. Wir wollen daher den Algorithmus RM
an einem einfachen Beispiel vorführen. Mit folgendem Schema FUN
y1 = x1
y2 = x2
y3 = y1 · y2
y4 = y3 − 7
y5 = y1 + y2
y6 = y4/y5
f(x) = y6
wird eine Funktion f : D ⊆ IR 2 → IR definiert. Für x = (3, 8) sollen Funktionswert
f(x) und Ableitungswert f ′ (x) berechnet werden.
Gemäß RM Block (1) erzeugen wir
y1 = x1 = 3
y2 = x2 = 8
y3 = y1 · y2 = 24
y4 = y3 − 7 = 17
y5 = y1 + y2 = 11
y6 = y4/y5 = 17
11
Somit ist f(3, 8) = 17
11 und die Werte y1, y2, . . . , y6 stehen zur Verfügung.
Gemäß RM Block (2) setzen wir
U ← [0, 0, 0, 0, 0, 1].
Diese Arbeitszeile U wird nun schrittweise umgeformt. Wir geben alle dazu nötigen
Einzelheiten an.
k = 6 : T6 = D, i = 4, j = 5
S64 ← U6/y5 = 1/11 = 1
11 und U4 ← U4 + S64 = 0 + 1
11
S65 ← S64 · y6 = 1 17 · 11 11
k = 5 : T5 = A, i = 1, j = 2
= 1
11
= 17
121 und U5 ← U5 − S65 = 0 − 17
121
S51 ← U5 = − 17
121 und U1 ← U1 + S51 = 0 + (− 17 17 ) = − 121 121
S52 ← U5 = − 17
121 und U2 ← U2 + S52 = 0 + (− 17 17 ) = − 121 121
k = 4 : T4 = SVC, i = 3
S43 ← U4 = 1
11 und U3 ← U3 + S43 = 0 + 1
11
k = 3 : T3 = M, i = 1, j = 2
= 1
11
S31 ← U3 · y2 = 1 8 · 8 = 11 11 und U1 ← U1 + S31 = − 17 8 + 121 11
S32 ← U3 · y1 = 1 3 · 3 = 11 11 und U2 ← U2 + S32 = − 17 3 + 121 11
= − 17
121
= 71
121
= 16
121