Algorithmisches Differenzieren - M1

3 RÜCKWÄRTS–METHODE 20
Wir definieren
#(f, f ′ , RM) := Anzahl der rationalen Operationen zur Berechnung
von f(x) und f ′ (x) mit RM.
Proposition 2: Für die Berechnung von f(x) und f ′ (x) mit dem Algorithmus RM
gilt
#(f, f ′ , RM) ≤ 5 · #(f, FUN).
Beweis: Block (1) kostet t Operationen. In Tabelle 10 ist unter #(Ski, Skj) angemerkt,
wie teuer Ski und/oder Skj sind. Für k = n + t, n + t − 1, . . . , n + 1 bezeichne
#(update,k) die Anzahl der in Block (2.2) Schritt k durchzuführenden update–
Operationen. Offensichtlich ist #(update,k) höchstens 2. Somit ergibt sich
#(f, f ′ , RM) = t +
≤ t +
n+t
�
k=n+1
n+t
�
k=n+1
(#(Ski, Skj) + #(update, k))
(2 + 2) = 5t = 5 · #(f, FUN).
Die Abschätzung in Proposition 2 ist scharf. Wenn im Algorithmus FUN nur Operationen
vom Typ M oder D auftreten, dann wird obige Ungleichung zu einer Gleichung.
Zur Durchführung des Algorithmus RM werden zwei Listen der Länge n+t benötigt,
eine für die Werte y1, y2, . . . , yn+t, und eine für die Arbeitszeile U. Vergleicht man die
Vorwärts–Methode mit Überschreiben und die Rückwärts–Methode, so zeigt sich, daß
im allgemeinen der Bedarf an Speicherplätzen bei der Vorwärts–Methode sehr viel
kleiner ist als der Bedarf an Speicherplätzen bei der Rückwärts–Methode.
Man kann den Algorithmus RM noch verfeinern zu einem Algorithmus RM1. Dabei
wird berücksichtigt, daß in Block (2.2) zu Beginn die Arbeitszeile U bis auf Un+t = 1
nur “System–Nullen” enthält. Eine Addition zu einer System–Null kann bei geeigneter
Buchführung vermieden werden, eine Subtraktion erfordert einen Vorzeichen–Wechsel.
Dies liefert allerdings nur
#(f, f ′ , RM1) < 5 · #(f, FUN).
Eine weitere Verfeinerung vom RM1 zu einem Algorithmus RM2 ist möglich, wenn
man in Block (2.2) fällige Vorzeichen–Wechsel nicht sofort ausführt, sondern erst am
Ende von Block (2.2). Einzelheiten sind in [57] ausführlich beschrieben. Ohne Beweis
geben wir folgendes Ergebnis an.
Proposition 3: Für die Berechnung von f(x) und f ′ (x) mit dem Algorithmus RM2
gilt
#(f, f ′ , RM2) ≤ 4 · #(f, FUN).
Funktionswert f(x) und Ableitungswert f ′ (x) zusammen, berechnet mit RM2, kosten
also höchstens 4–mal soviel wie der Funktionswert alleine.
⊓⊔